Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений – один из основных разделов алгебры. Нет такой отрасли науки или приложений, где в том или ином виде не использовались бы эти системы. При решении экономических задач системы линейных уравнений наиболее употребимы как в аппарате исследования, так и при рассмотрении частных проблем.

1. Общий вид и свойства системы уравнений

Система линейных уравнений с неизвестными (переменными) имеет вид:

(3)

где - произвольные числа ( , ), которые называются соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами системы уравнений (3). Первый индекс у коэффициентов при неизвестных означает номер уравнения, второй индекс соответствует номеру неизвестного .

Решением системы уравнений (3) называется набор чисел , при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.

Система уравнений (3) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Если система не имеет решений – она называется несовместной.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение.

Совместная система уравнений называется неопределенной, если она имеет больше одного решения.

Например, система уравнений ; ; - совместная и определенная;

система уравнений ; первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго, получаем: - система совместная и неопределенная, так как имеет бесконечное множество решений , где - любое число.

Две системы уравнений вида (3) называются эквивалентными или равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Элементарные преобразования исходной системы приводят к эквивалентной системе. К элементарным преобразованиям относятся:

1. Вычеркивание уравнения - нулевой строки.

2. Перестановка уравнений или слагаемых в уравнениях.

3. Прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число.

4. Удаление уравнений, являющихся линейными комбинациями других уравнений системы.

3.2. Матричная форма системы уравнений

Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (3) в матрицу

.

Эта матрица состоит из строк и столбцов и называется матрицей системы. Введем в рассмотрение две матрицы-столбца: матрицу неизвестных и матрицу свободных членов :

, .

и представляют собой матрицы, состоящие соответственно из строк и одного столбца.

Так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то их произведение

есть матрица столбец. Элементами полученной матрицы являются левые части системы (3). На основании определения равенства матриц систему (3) можно записать в матричном виде:

(4)

Введем в рассмотрение еще одну матрицу: дополним матрицу системы столбцом свободных членов и получим новую матрицу размера :

Матрица называется расширенной матрицей системы.