3. Умножение матриц

Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , у которой элемент равен сумме произведений элементов -й строки матрицы и -ого столбца матрицы , т.е. , , .

При этом число столбцов матрицы должно быть равно числу строк матрицы . В противном случае произведение не определено. Для удобства запоминания размера произведения матриц нужно перемножить отношения размеров матриц-сомножителей: , т.е. размер матрицы равен .

Пример.

Найти те произведения матриц и , которые существуют, где ,

Решение.

Рассмотрим произведение матриц и :

число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , следовательно произведение определено:

Рассмотрим произведение матриц и :

Произведение матриц не имеет смысла, так как число столбцов матрицы не равно числу строк матрицы .

Пример.

Найти те произведения матриц и , которые существуют, где

,

Решение.

Рассмотрим произведение матриц и :

число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , следовательно, произведение определено:

.

Рассмотрим произведение матриц и :

Произведение матриц не имеет смысла, так как число столбцов матрицы не равно числу строк матрицы .

Свойства произведения матриц

Пусть , и – матрицы, соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены, а - действительное число, тогда:

1. .

2. .

3. .

4. 

5. : произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.

4. Возведение в степень.

Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение m матриц, равных А, т.е.

Операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц.

Пример. Найти , где .

Решение.

.

Транспонирование матриц

Данная операция состоит в замене строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка, или, что тоже самое, замене столбцов матрицы на ее строки.

Пусть , тогда транспонированная матрица имеет вид: , например ,

Свойства транспонированных матриц

1. .

2. При транспонировании квадратной матрицы элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняются.

3. .

4. .

5. .

Для симметрических матриц .

2. Определители квадратных матриц

Определителем матрицы первого порядка или определителем первого порядка называется элемент . Обозначается .

Определителем матрицы второго порядка или определителем второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле

.

Например, , тогда

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка

(1)

Определителем матрицы третьего порядка, соответствующей матрице (1), называется число, обозначаемое символом:

Числа называются элементами определителя. Диагональ, образованная элементами , называется главной, а диагональ, образованная элементами - побочной.

Для вычисления определителя используют правило треугольника:

«+» «-»

Пример.

Вычислить определитель третьего порядка .

Решение.

.

Пусть дана квадратная матрица А n-го порядка.

Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-строки и j-столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка (1). Минором элемента матрицы третьего порядка является определитель второго порядка:

Минором элемента матрицы третьего порядка является определитель второго порядка:

Алгебраическим дополнением элемента матрицы n-го порядка называется минор этого элемента, умноженный на , где - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Алгебраическое дополнение элемента обозначается такой же прописной буквой, что и сам элемент. Так алгебраическое дополнение элемента обозначается , алгебраическое дополнение элемента обозначается .

Пример. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы

Решение.

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Важное значение для вычисления определителей имеет следующая теорема.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения:

- разложение по элементам i-ой строки, i=1, 2,…,n.

- разложение по элементам j-ого столбца, j=1, 2,…,n.

Доказательство.

Убедимся в справедливости теоремы на примере определителя третьего порядка. Разложим его по элементам первой строки:

- полученное выражение совпадает с определением определителя третьего порядка. Аналогичный результат получаем при разложении определителя матрицы по любой строке или столбцу.