2. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Пусть прямая и плоскость в пространстве заданы соответственно уравнениями

Параллельность прямой и плоскости. Прямая параллельна плоскости только в том случае, если направляющий вектор прямой перпендикулярен нормальному вектору плоскости:

(89)

Перпендикулярность прямой и плоскости. Прямая перпендикулярна плоскости лишь в том случае, когда ее направляющий вектор коллинеарен нормальному вектору плоскости, тогда формула имеет вид:

(90)

У гол между прямой и плоскостью. Под углом между прямой и плоскостью понимают острый угол α между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Поскольку этот угол дополняет до угол между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой, согласно формуле (85) имеем:

(91)

2. Поверхности второго порядка.

Поверхности, определяемые в прямоугольной системе координат алгебраическими уравнениями второго порядка, называются поверхностями второго порядка.

Э ллипсоид. Каноническое уравнение эллипсоида:

В сечениях эллипсоида в плоскостях и получаются эллипсы с парами полуосей соответственно и , уравнения которых имеют вид:

,

Числа называются полуосями эллипсоида. Самые большие эллипсы получаются в сечениях координатными плоскостями; по мере удаления от них эллипсы в сечениях плоскостями, параллельными координатным плоскостям, уменьшаются до вырождения в точку и полного исчезновения.

Однополостный гиперболоид. Каноническое уравнение однополостного гиперболоида:

В сечениях однополосного гиперболоида координатными плоскостями и получаются гиперболы, уравнения которых соответственно имеют вид:

,

В сечениях данной поверхности плоскостями , параллельными плоскости , получаются эллипсы, полуоси которых увеличиваются по мере удаления от координатной плоскости .

Тема 7. Комплексные числа

1. Арифметические операции над комплексными числами

Определение. Комплексным числом называется выражение вида , где и - действительные числа, - мнимая единица.

Число называется действительной частью числа и обозначается , а число - мнимой частью числа и обозначается .

Числа и называются сопряженными.

Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. , если и .

В частности , если и .

Арифметические операции на множестве комплексных чисел

1. Сложение (вычитание) комплексных чисел

2. Умножение комплексных чисел

В частности

, т.е. мнимая единица есть число, квадрат которого равен .

3. Деление комплексных чисел

.

Все арифметические операции над комплексными числами определяются по правилам сложения и умножения многочленов и , учитывая, что , например:

Пример.

Даны комплексные числа , . Найти , , .

Решение.

1. .

2. .

3. 

4. 

умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное делителю комплексное число , получаем

Д ля геометрического представления комплексных чисел служат точки координатной плоскости . Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу ставится в соответствие точка плоскости , причем это соответствие взаимно однозначное. Оси и , на которых расположены действительные числа и чисто мнимые числа , называются соответственно действительной и мнимой осями.