Разложение вектора в ортогональном базисе.
Рассмотрим базис
пространства
,
в котором каждый вектор ортогонален
остальным векторам базиса:
,
,
,
.
(24)
Ортогональные базисы хорошо представимы на плоскости и в пространстве.
Рассмотрим разложение произвольного вектора в ортогональном базисе (24). Составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами разложения в данном базисе:
(25)
Умножим обе части
этого равенства, представляющие собой
векторы, на вектор
.
В силу свойств 2 и 3 скалярного произведения
векторов имеем
.
Однако в силу
взаимной ортогональности векторов
базиса (24) все скалярные произведения
векторов базиса, за исключением первого,
равны нулю, т.е. коэффициент
определяется по формуле
Умножая поочередно равенство (25) на другие базисные векторы, получаем простую формулу для вычисления коэффициентов разложения вектора :
(26)
Соотношения (26)
имеют смысл, при
.
Выделим особый
случай ортогонального базиса, когда
все векторы в (24) имеют единичную длину
или нормированы
по своей
длине. В таком случае базис называют
ортонормированным, и координаты
разложения (26) имеют наиболее простой
вид:
4.5. Оператор линейного преобразования
4.5.1. Матрица перехода от одного базиса к другому
Пусть в векторном
пространстве
имеются два базиса:
и
,
.
Представим каждый из векторов базиса
в виде разложения по базису
:
(27)
Матрица , составленная из коэффициентов разложения векторов базиса в базисе , называется матрицей перехода от базиса к базису . Матрица имеет вид:
(28)
Матрица является невырожденной, так как в противном случае ее строки были бы линейно зависимыми, что противоречило бы линейной независимости векторов базиса . Нетрудно видеть, что матрицей обратного перехода от базиса к базису является обратная матрица .
Пусть произвольный
вектор
имеет координаты
и
в базисах
и
,
т.е.
(29)
Найдем связь между координатами вектора в базисах и . Подставим в правую часть равенства (29) координаты разложения (27) векторов базиса в базисе . В силу единственности разложения вектора в базисе получаем:
(30)
Система (30) представляет собой формулы пересчета координат вектора при переходе от базиса к базису .
В матричной форме система соотношений (14) представима в виде
(31)
где
,
-
векторы-столбцы координат вектора
в базисах
и
,
- транспонированная матрица
.
Аналогично пересчет координат вектора
при переходе от базиса
к
базису
определяется уравнением
(32)
где
-
транспонированная матрица
.
Пример. Векторы
,
,
и
заданы в базисе
.
Представить вектор
в виде разложения по базису
.
Решение.
Первоначально убедимся, что векторы
линейно независимы и образуют базис в
пространстве
,
для чего вычислим определитель,
составленный из координат этих векторов:
.
Связь между базисами выражается следующей системой уравнений:
Матрица перехода от базиса к базису , составленная из коэффициентов разложения векторов в базисе , имеет вид:
.
Находим обратную матрицу и затем транспонированную матрицу :
,
.
По формуле получаем координаты вектора в базисе :
.
Это означает, что вектор представляется в виде линейной комбинации векторов :
