Тема 4. Векторы
4. 1. Векторы на плоскости и в пространстве
4.1.1. Скаляры и векторы. Операции над векторами
Многие характеристики окружающих нас явлений описываются числами, например, вес товара и его стоимость, температура тела, количество мест в салоне самолета. Такие величины называются скалярными, или скалярами. Однако имеются и такие величины, которые требуют для своего описания еще и указания направления, например, скорость и ускорение при движении тела. Такие величины называются векторными, или векторами.
Определение. Направленный отрезок, на котором заданы начало, конец и направление, называется вектором.
О
бозначается
вектор символом, куда входят его начало
и конец
или одной буквой
.
Расстояние между началом и концом
вектора называется его длиной.
Определение.
Векторы
и
называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых.
Определение. Векторы и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.
В любой системе
координат вектор характеризуется своими
координатами: двумя координатами на
плоскости
и тремя - в пространстве
.
Если заданы
координаты начала и конца вектора,
соответственно
и
,
то координаты этого вектора определяются
по формуле:
Длина вектора определяется по формуле:
.
Нулевым вектором
называется вектор
на плоскости и
в пространстве.
Операции над векторами.
Пусть даны два
вектора
и
.
Суммой векторов
и
называется вектор
,
координаты которого равны суммам
соответствующих координат векторов
и
:
Для получения
суммы векторов нужно совместить конец
вектора
с началом вектора
,
тогда вектор
будет направлен от начала первого
вектора к концу второго.
П
роизведением
вектора
на число
называется вектор
,
координаты которого соответственно
равны
.
Геометрический
смысл умножения вектора на число состоит
в увеличении длины вектора в λ раз при
или ее сокращении в λ раз при
.
При
вектор
имеет направление, противоположное
вектору
;
векторы
и
коллинеарны.
Из определения коллинеарности векторов и из определения произведения вектора на число вытекает, что векторы и коллинеарны в том и только в том случае, если их координаты пропорциональны:
Это соотношение носит название условия коллинеарности двух векторов.
4.1.2. Скалярное произведение векторов
Пусть и - произвольные векторы, а φ – угол между ними.
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
- перестановочность
сомножителей.
-
сочетательность относительно умножения
на число.
- распределительность
относительно суммы векторов.
- формула скалярного
квадрата.
,
если вектор
перпендикулярен вектору
;
и обратно, если
,
то при
и
векторы
и
взаимно перпендикулярны.
Скалярное произведение векторов выражается через их координаты следующим образом: пусть даны векторы и , тогда
Тогда формула для определения угла между векторами имеет вид:
