1.6. Логіка цифрових пристроїв
Цифрові мікроелектронні елементи, вузли і пристрої мікропроцесорних систем призначені для роботи з інформацією, яку задано в числовому вигляді. Процес розробки цифрових пристроїв розпочинають з логічного синтезу, результатом якого є складання логічного рівняння, що відображає певну послідовність операцій пристрою. Цю послідовність формують на основі алгебри логіки (булевої алгебри), що створена в 1848 р. математиком Джорджем Булем. В ній розглядають алгебраїчні залежності, в яких аргументи і функції можуть набувати тільки двох значень “1” і “0”. Практичне використання таких функцій є формальним описом логіки цифрових пристроїв.
Змінна алгебри логіки, яка набуває одне з двох можливих значень і над якою виконують певні дії, є висловлюванням. Висловлювання – це речення, яке може бути істинним або помилковим. За змістом, висловлювання поділяють на прості і складні. В алгебрі логіки над простими висловлюваннями (логічними змінними) виконують дії – логічні операції, які утворюють складні висловлювання. Використовуючи висловлювання та їхні логічні значення, можливо аналізувати роботу будь – яких релейних схем та цифрових пристроїв.
Розглянемо основні логічні функції, їх рівняння, умовні позначення в мікросхемотехніці та релейні еквівалентні схеми, що наведені в таблиці 3:
Таблиця 3
Логічні функції |
Умовні позначення |
Релейний еквівалент |
Кон’юнкція “І”: y = x1x2 |
|
|
Диз’юнкція “АБО”: y = x1 + x2 |
|
|
Інверсія “НІ”:
y = |
|
|
Заперечення
диз’юнкції (Пірса) “АБО-НІ”: y= |
|
|
Заперечення
кон’юнкції (Шеффера) “І-НІ”: y= |
|
|
Рівнозначність
(тотожність):
|
|
|
Імплікація: y= |
|
|
Виключаюче
“АБО”: y= |
|
|
Заборона: y= |
|
|
Основними логічними операціями є кон’юнкція, диз’юнкція та інверсія.
Кон’юнкцію,
або логічну операцію “І” отримуємо
при об’єднанні двох простих висловлювань
x1,
x2
сполучником І. Запис операції кон’юнкція
має вигляд
.
Операцію "І" називають також
логічним множенням. Якщо записати всі
можливі комбінації значень, яких
набувають логічні аргументи x1
i x2,
і значення логічної функції y
для кожної з комбінацій та звести їх у
таблицю, то отримаємо таблицю істинності
для логічної операції “І” (табл. 4):
Таблиця 4
Аргументи |
Функція |
|
x1 |
x2 |
y |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Таблиця істинності 4 є аналогічною таблиці множення двох чисел – “0” і “1”, звідки і назва – логічне множення.
Диз’юнкція,
або логічна операція "АБО", полягає
в об’єднанні двох простих висловлювань
х1
і х2
сполучником
АБО. Запис операції диз’юнкція має
вигляд
.
Операцію "АБО" називають також
логічним додаванням. Її таблиця істинності
має такий вигляд (табл. 5).
Таблиця 5
Аргументи |
Функція |
|
x1 |
x2 |
y |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Інверсія,
або логічна операція "НІ", є
запереченням певного висловлювання x.
Якщо висловлювання
є істинним
,
то його заперечення записують як
(тобто висловлювання
буде помилковим). У таблиці істинності
ця операція матиме такий вигляд (табл. 6):
Таблиця 6.
Аргумент |
Функція |
х |
у |
0 |
1 |
1 |
0 |
Логічні функції І, АБО, НІ є основними в алгебрі логіки тому, що за їх допомогою можливо визначити всі інші логічні функції. Елементи, що реалізують ці функції, називають одноступінчастими. Але базовими елементами мікросхемотехніки є двоступінчасті елементи І–НІ та АБО–НІ.
Функція І-НІ (Шеффера) реалізує логічну операцію заперечення кон’юнкції і її таблиця має такий вигляд (табл. 7):
Таблиця 7
x1 |
x2 |
y |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Функція АБО-НІ (Пірса) реалізує заперечення диз’юнкції і її таблиця істинності має вигляд (табл. 8) :
Таблиця 8
x1 |
x2 |
Y |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Логічна операція рівнозначність означає, що вихідний сигнал існує в тому випадку, якщо на обох входах елемента одночасно є або відсутні логічні одиниці.
Логічна операція імплікація означає, що логічна одиниця на виході логічного елемента існує тільки тоді, коли відсутній сигнал на вході x1 або є на вході x2.
Логічна операція виключаюче АБО має таку таблицю істинності (табл. 9):
Таблиця 9
x1 |
x2 |
Y |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Таким чином логічна 1 з’являється на виході елемента тоді, коли вхідні сигнали є різними, тобто один з них має значення логічного 0, а інший – логічної 1.
Логічна операція заборони забезпечує появу логічної 1 на виході тільки при наявності 1 на вході x2 та 0 на вході заборони x1 (таблиця 3).
Основні закони алгебри логіки наведені у таблиці 10. Для доведення будь-якого з цих законів треба розглянути всі можливі комбінації значень логічних змінних і виконати над ними відповідні операції.
Таблиця 10
№ п/п |
Закони алгебри логіки |
|
1 |
Комутативні (переміщувальні) |
x1 + x2 = x2 + x1; x1x2 = x2x1; |
2 |
Асоціативні (сполучні) |
x1 + x2+x3 = (x1 + x2)+x3; x1x2x3 = (x1x2)x3; |
3 |
Дистрибутивні (розподільні) |
x1(x2 + x3) = x1 x2+x1 x3; x1 + x2 x3 = (x1 + x2) (x1 + x3); |
4 |
Тавтології (виключення повторення) |
x + x+ х = x; x x х = x; |
5 |
Інверсії (де Моргана) |
|
6 |
Склеювання |
|
7 |
Поглинання |
x1 + x1 х2 = x1; x1 ( x1+х2) = x1; |
;
;
Із законів випливають такі властивості заперечення і констант:
– доповнення:
;
– подвійне
заперечення:
;
– додавання з одиницею: х + 1 = 1;
– додавання з нулем: х + 0 = х;
– множення
на одиницю:
;
– множення
на нуль:
;
Логічну функцію можна задати трьома способами: словесним, табличним і аналітичним. Таблиця істинності – це табличний спосіб задання логічної функції. В ній записують усі можливі комбінації значень логічних аргументів і значення функції для кожної з комбінацій.