Решение матричной игры m×n сведением к задаче линейного программирования для игрока a.
Пусть дана матричная игра с матрицей А порядка m х n.
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
… |
|
А=Po=(p1o,p2o,…,pmo)
,
Если игрок А применяет любую смешанную стратегию P=(p1,p2,…,pm) против любой чистой стратегии Bj игрока В, то он получает выигрыш
F(P,Bj)=a1jp1+a2jp2+…+anjpm, j=1,2,…,n
.
Разделим каждое неравенство на V>0 и введем
x1=p1/v, x2=p2/v,…,xm=pm/v
Разделив на V>0 равенство , получим выражение x1+x2+…+xm=1/v
Получаем задачу линейного программирования для игрока А:
x1+x2+…+xm->min(поскольку первый игрок стремится найти такие значения хi и, следовательно, pi , чтобы цена игры v была максимальной)
Po=(p1o=x1o*V, p2o=x2o*V,…,pmo=xmo*V)
Решение матричной игры m×n сведением к задаче линейного программирования для игрока b.
Пусть дана матричная игра с матрицей А порядка m х n.
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
… |
|
Qo=(q1o,q2o,…,qno)
Если игрок В применяет любую смешанную стратегию Q=(q1,q2,…,qm) против любой чистой стратегии Ai игрока A, то он получает проигрыш
F(P,Bj)=a1jq1+a2jq2+…+anjqm, j=1,2,…,n
.
Разделим каждое неравенство на V>0 и введем
y1=q1/v, y2=q2/v,…,ym=qm/v
Разделив на V>0 равенство , получим выражение y1+y2+…+ym=1/v
Получаем задачу линейного программирования для игрока В:
y1+y2+…+ym->max (поскольку второй игрок стремится найти такие значения yj и, следовательно, qj, чтобы цена игры v была наименьшей)
Qo=(q1o=y1o*V, q2o=y2o*V,…,qmo=ymo*V)
Основные понятия и определения теории игр с природой.
Во многих задачах финансово-экономической сферы принятие решения осложняется наличием неопределенности, заключающейся в неполноте информации об окружающей среде. Такую неопределенность могут порождать различные причины. Это могут быть действительные природные физические (климатические), биологические, химические, социальные и другие процессы, которые сопровождают экономическую деятельность, политика гос-ва и др. Поэтому в таких задачах принятие решения зависит от реальных условий, которые называют в соответствующей математической модели «природой». Саму же модель называют «игрой с природой». «Природа» может выступать как антагонистическая сторона, а может как кооперативная среда. Игру с природой можно определить как парную игру, в которой сознательный игрок А, заинтересованный в наиболее выгодном для него исходе игры, выступает против участника, совершенно безразличного к результату – природа (обозначим его П). Очевидно, что при решении игр с природой достаточно найти наилучшие рекомендации только для игрока А, потому как природа в рекомендациях не нуждается, развиваясь в соответствии с определенными законами независимо от того, удобно это человеку или нет.