3. Пусть игра задана матрицей

Средний выигрыш первого игрока, если он использует оптимальную смешанную стратегию х^*=(x₁^*,x^*₂), а второй игрок – чистую стратегию, соответ.первому столбцу платежной матрицы, равен цене игры v:

a₁₁ x₁^*+a₂₁ x^*₂ = v.

Тот же средний выигрыш получает первый игрок, если второй игрок применяет стратегию, соответ.второму столбцу платежной матрицы, т.е. a₁₂ x₁^*+a₂₂ x^*₂ = v. Учитывая, что x₁^*+ x^*₂=1, получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии первого игрока и цены игры:

a₁₁ x₁^*+a₂₁ x^*₂ = v.

a₁₂ x₁^*+a₂₂ x^*₂ = v

x₁^*+ x^*₂=1

Решая эту систему, получим оптимальную стратегию

x₁^*=

x₂^*=

и цену игры v =

4. Д ля второго игрока

В=-А^Т=

Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании оптимальной смешанной стратегии второго игрока, получаем, что при любой чистой стратегии первого игрока средний проигрыш второго игрока равен v, т.е. a₁₁ у₁^*+ a₁₂ у₂^*=v.

Тогда оптимальная стратегия второго игрока определяется по формулам:

у₁^*=

у₂^*=

v’=-v

16. Аналитическое решение игры 2×2 в смешанных стратегияхдля игрока b.

Первый случай. Решение игры 2х2

_{Рассмотрим игру} ( ) с матрицей без седловой точки. Решением игры являются смешанные стратегии игроков и . Очевидно, что

Использование игроком А своей оптимальной стратегии гарантирует ему получение среднего выигрыша не меньшего, чем цена игры ν. При этом, если игрок В использует свою оптимальную стратегию, то средний выигрыш игрока будет равен ν, если игрок В не использует свою оптимальную стратегию, то средний выигрыш игрока А будет больше ν.

Записанное выше положение имеет вероятностный смысл, т.е. средний выигрыш будет тем ближе к ν, чем больше партий сыграют игроки: средний выигрыш стремится к ν по вероятности (другими словами, средний выигрыш будет не точно равен ν, а при мерно равен и чем больше партий, тем меньше отклонение). Кроме того, определение смешанной стратегии требует выбирать чистые стратегии игроками случайно в соответствии с вероятностями (относительными частотами) их использования (условие секретности выбора чистой стратегии).

Для решения матричных игр ( ) можно использовать аналитический и геометрический методы.

Чтобы найти оптимальную смешанную стратегию игрока В: и соответствующую цену игры ν, решаем систему уравнений:

(3.14)

Получим:

(3.15)

Цена игры общая для обоих игроков.

(3.13)

16. Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока a.

В точках , оси Ох восстановим перпендикуляры и обозначим их и – в соответствии со стратегиями игрока А (рис 3.1).

Рис. 3.1. Графическая интерпретация игры для игрока А

Изобразим стратегию . На прямой отложим , а на прямой отложим . Соединим эти точки и получим прямую . Аналогично изобразим стратегию , отложив на прямой значение , а на прямой  значение .

Каждой точке на отрезке [0; 1] соответствует смешанная стратегия игрока А, причем – расстояние от этой точки до нуля, а – расстояние от этой точки до точки 1 (рис. 3.1).

Ломанная (на рис. 3.1 выделена полужирно) определяет минимальные возможные средние выигрыши игрока А при использовании им своих смешанных стратегий. Точка М (самая высокая точка ломанной) – определяет наилучший средний выигрыш игрока А из всех минимальных. Она соответствует оптимальной смешанной стратегии игрока А. При этом:

если , то

Таким образом, задача сводится к нахождению координат точки , которая является точкой пересечения прямых и . Для нахождения уравнений этих прямых можно воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки:

с учетом того, что прямую определяют точки и а прямую  точки и .