4. Критерий решения игры в чистых стратегиях.

КРИТЕРИЙ РЕШЕНИЯ ИГРЫ В ЧИСТЫХ СТРАТЕГИЯХ - выигрыш одного из них равен проигрышу другого. Внешние факторы отсутствуют. Оба игрока обладают конечным числом действий и логикой, которая определят их действия (рассмотрим ниже). Строки матрицы являются возможными действиями игрока А, столбцы матрицы - возможными действиями игрока В. Возможные действия игроков называются чистыми стратегиями.

Критерий решения игры в чистых стратегиях упирается в критерий существования цены игры в чистых стратегиях.

Свойство: ни одному из игроков А и В, придерживающихся одной из своих оптимальных стратегий невыгодно от нее отклоняться, поскольку в этом случае он не увеличивает свой выигрыш.

Цена игры в чистых стратегиях представляет собой значение выигрыша игрока А, которое он не может увеличить, если игрок В придерживается своей оптимальной стратегии и значение проигрыша игрока В, которое последний не может уменьшить при условии, что игрок А действует по своей оптимальной стратегии.

Теорема: для того, чтобы существовала цена игры в чистых стратегиях, т.е. для того чтобы нижняя цена игры равнялась верхней цене игры , необходимо и достаточно существование у матрицы этой игры седловой точки.

В игре без седловых точек ни у одного из игроков оптимальных стратегий нет. Т.е. задача в чистых стратегияхи меет решение, если сущ. седловая точка.

5. Доказательство утверждения

Теорема 1. Для элементов матрицы (13) имеют место неравенства

α_i ≤ a_ij ≤ β_j, i = 1, ..., m, j = 1, ...,n, (14)

и, следовательно, нижняя цена игры не больше ее верхней цены в чистых стратегиях:

α ≤ β. (15)

Доказательство. По определению (3) показателей эффективности α_i стратегий А_i игрока А и определению (9) показателей неэффективности β_j стратегий B_j игрока В имеем

следовательно, неравенства (14) доказаны.

Так как доказанное неравенство α_i ≤ β_j справедливо для любых i = 1, ..., т, j =1, ..., п, то оно будет справедливым в частности для номеров i = i₀ и j = j₀ соответственно максиминной и минимаксной стратегий и :

Тогда в силу (6) и (12) получим требуемое неравенство (15).

9.Удовлетворительность игровой ситуации для игрока A.

Т. Ситуация (A_i0, B_jo) будет удовлетворительна для игрока А Тогда и только тогда, когда его выигрыш совпадет с показателем неэффективности стратегии B_jo игрока В: , то есть будет максимальной в j-ом столбце матрицы игры

Д-во: Пусть ситауция (A_i0, B_jo) удовлетворительна для игрока А. Тогда по определению справедливо нер-во .Из этого неравенства и по определению (1) показателя неэффективности стратегии B_j0 следует, что , то есть нер-во доказано. Тогда применяя (1) при j=j₀ получим , то есть доказано

10. Удовлетворительность игровой ситуации для игрока b.

Если игроки А и В придерживаются своих максиминной и минимаксной стратегий соответственно, то ни один из них не может увеличить свой выигрыш, отступая от своей стратегии. Ситуация (А₂, B₃) является в данной игре устойчивой. Нижняя и верхняя цены игры совпадают: α = β = 0,4.

Ситуация (сложившаяся в результате выбора игроками А и В соответственно стратегий и , называется удовлетворительной для игрока В, если

Теорема 2. Ситуация является удовлетворительной для игрока В тогда и только тогда, когда его проигрыш совпадает с показателем эффективности стратегии игрока А:

т. е. минимален в i₀-й строке матрицы игры.