31.Критерий (крайнего пессимизма) Вальда оптимальности чистых стратегий.

Критерий Вальда есть частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей со специальными коэффициентами

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Вальда считается та стратегия, при которой минимальный выигрыш является максимальным среди минимальных выигрышей всех чистых стратегий.

для матрицы выигрышей,

для матрицы потерь.

Критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма, т.к. ориентирует игрока А на наихудшее для него состояние природы и, следовательно, на крайне осторожное, осмотрительное поведение при выборе стратегий. Этот критерий уместен в тех случаях, когда игрок А не столько хочет выиграть, сколько не хочет проиграть.

32.Критерий крайнего оптимизма оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей и рисков.

Является противоположностью критерия Вальда. Представляет собой частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей, когда коэф. выбираются следующим образом:

Оптимальной среди чистых стратегий по максимаксному критерию является стратегия А_io с максимальным показателем эффективности:

для матрицы выигрышей,

для матрицы потерь.

Т.е. стратегия, максимальный выигрыш при которой максимален среди максимальных выигрышей всех чистых стратегий. Поэтому оптимальной будет стратегия, при которой (хотя бы) один из выигрышей является максимальным среди выигрышей всех чистых стратегий .Оптимальная по максимаксному критерию стратегия гарантирует игроку А возможность наибольшего выигрыша, равного максимаксу.

Для максимаксного критерия показатели пессимизма и оптимизма равны соответственно , . Таким образом, максимаксный критерий является критерием крайнего оптимизма, так как ориентирует ЛПР на наилучшее, благоприятнейшее для него состояния природы и, следовательно, на порой неоправданно легкомысленное поведение при выборе стратегий. Вместе с тем, в некоторых ситуациях этим критерием пользуются осознанно, например, в ситуации когда перед игроком стоит дилемма: либо получить наибольший выигрыш, либо стать банкротом.

33.Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей и рисков. Вероятностная интерпретация коэффициентов критерия Гурвица.

относительно выигрышей.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрышей с показателями оптимизма [0,1] – взвешенное среднее минимального и максимального выигрышей игрока А при выбранной им стратегии А_i с весами 1 −  и .

Данный критерий является как бы промежуточным между критериями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма и представляет собой частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей.

Показателем эффективности стратегии A_i по рассматриваемому критерию является величина:

Оптимальной же стратегией по этому критерию считается стратегия A_i0 с максимальным показателем эффективности

Вообще показатели пессимизма и оптимизма в этом критерии равны соответственно λ_p =1- λ и λ₀ = λ. При λ=0 мы получаем критерий Вальда, а при λ=1 – максимаксный критерий. Чем ближе к нулю показатель оптимизма λ, тем ближе к единице показатель пессимизма 1- λ, и тем меньше оптимизма и больше пессимизма. И наоборот, чем ближе λ к единице, тем больше оптимизма и меньше пессимизма.

Относитеольно рисков:Применительно к матрице рисков R критерий пессимизма-оптимиз­ма Гурвица имеет вид

H_R=miníp max r_ij+(1-p) min r_ijý, 1£i£m, 1£j£n.

При р=0 выбор стратегии игрока 1 осуществляется по условию наименьшего из всех возможных рисков (min r_ij); при р=1 – по критерию минимаксного риска Сэвиджа.

Значение р от 0 до 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности р=0,5 представляет наиболее разумный вариант.

В случае, когда по принятому критерию рекомендуются к использованию несколько стратегий, выбор между ними может делаться по дополнительному критерию. Здесь нет стандартного подхода. Выбор может зависеть от склонности к риску игрока 1.

Вероятностная интерпретация коэффициентов критерия Гурвица.

Данный критерий позволяет учитывать комбинацию наихудших состояний. Смысл его состоит в нахождении по специальной формуле эффективности всех стратегий игрока А и последующее сравнении данных показателей эффективности для выбора наиболее оптимальной стратегии, при условии полной неопределённости, т.е. вероятности состояния природы нам неизвестны. Другими словами, при выборе решения мы находим некоторый средний результат при состоянии, находящемся между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом.

Критерий Гурвица целесообразно применять в следующих ситуациях:

1. Информация о состояниях окружающей среды отсутствует или недостоверна;

2. Необходимо считаться возможным появлением наихудшего и наилучшего состояния природы;

3. Допускается некоторый риск.

Рассмотрим игру с природой размера m x n, m 2, n 2, с матрицей A= (a_ij), где i=1,2,…,m, а j=1,2,…,n. Пусть A₁ ,A₂ ,…,A_m – чистые стратегии игрока А и П₁,П₂,...П_n – состояния природы П. Вероятности состояний неизвестны.

Введём специальный коэффициент λ [0,1], которым обозначим количественную «меру оптимизма» игрока А при выборе стратегии. Данный коэффициент выбирает сам игрок, на основании интуиции, личного опыта, состояния окружающей среды или на основе статистических исследований результатов принятия решений.

Эффективность чистой стратегии A_i в смысле критерия Гурвица [(Hur)^p (λ)] характеризуется показателем:

(Hur)^p_i (λ)= (1- λ)W_i + λM_i , i = 1,2,…,m, (2.1)

где W_i и M_i - показатели эффективности стратегии A_i соответственно по критерию Вальда и по максимаксному критерию.

Таким образом, Игрок А при использовании критерия Гурвица с коэффициентом λ [0,1] занимает более взвешенную позицию, чем если бы он применил критерий Вальда или максимаксный критерий.

Если открыть скобки в равенстве (2.1) и несколько преобразовать данное выражение, то можно получить показатель эффективности (Hur)^p_i (λ) в форме линейной функции от аргумента λ [0,1] с угловым коэффициентом (M_i -W_i):

(Hur)^p_i (λ) = (M_i -W_i) λ + W_i (2.2)

Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гурвица с коэффициентом оптимизма λ относительно выигрышей или (Hur)^p (λ)-ценой в чистых стратегиях называется максимальный из показателей эффективности:

(2.3)

Оптимальной во множестве чистых стратегий по критерию Гурвица с коэффициентом λ относительно выигрышей, или (Hur)^p (λ) – оптимальной во множестве , называется чистая стратегия A_k с наибольшим (Hur)^p (λ)-показателем эффективности:

(2.4)

Природа может находиться в самом выгодном положении с вероятностью λ и в самом невыгодном с вероятностью (1- λ). Можно также трактовать параметр λ как степень оптимизма лица, принимающего решения.