4. Доминирование чистых стратегий.

Отыскание решения игр без седловой точки, особенно при достаточно больших размерах платежной матрицы, оказывается сложной задачей. В некоторых случаях эту задачу можно упростить с помощью редуцирования игр, т.е. сведения данной игры со сложной матрицей к игре с более простой матрице. Рассмотрим один из способов редуцирования игр, основанный на принципе доминирования.

Пусть имеем игру с матрицей

/////////// матрица //////

Каждой смешанной (в частности, чистой) стратегии игрока поставим в соответствие строку

(1)

(размера ), элементами которой являются выигрыши игрока в ситуациях

В силу формулы строку (1) можно представить так:

откуда видно, что она является выпуклой комбинацией строк матрицы (выпуклой, т.к. )

Обратно, каждой выпуклой комбинации (2) строк матрицы с коэффициентами поставим в соответствие смешанную стратегию игрока .

Таким образом, между смешанными (в том числе и чистыми) стратегиями игрока и выпуклыми комбинациями

, , строк матрицы устанавливается взаимно-однозначное соответствие

.(3)

Из (1) и (3) ясно, что каждой чистой стратегии , игрока ставится во взаимно-однозначное соответствие я строка матрицы .

Если для двух выпуклых комбинаций строк матрицы

(4)

и

, (5)

выполняются неравенства

,(6)

то говорят, что строка (5) доминирует строку (4), а строка (4) доминируется строкой (5). Таким образом, строка (5) – доминирующая строку (4), а строка (4) – доминируемая строкой (5).

Если каждое из неравенств (6) являются равенствами, то строки (4) и (5) называются дублирующими друг друга.

Если каждое из неравенств (6) является строгим, то говорят, что строка (5) строго доминирует строку (4), а строка (4) строго доминируется строкой (5).

Аналогичная терминология используется и для соответствующих стратегий игрока . Если строка (5) доминирует, дублирует или строго доминирует строку (4), то говорят, что стратегия доминирует, соответственно дублирует, соответственно строго доминирует стратегию . Дублирующие стратегии равнопредпочтительны, а доминируемая не дублирующая стратегия заведомо невыгодна.

Так как элементами строк, соответствующих по (3) смешанным стратегиям, являются выигрыши игрока , то из данных определений понятно, что для игрока дублирующие стратегии равнопредпочтительны, а доминируемая не дублирующая стратегия заведомо для него невыгодна.

5. Максиминный и минимаксный принципы игроков. Показатели эффективности и неэффективности чистых стратегий.

Показатель эффективности: минимальный выигрыш игрока А.

Показатель неэффективности: максимальный проигрыш игрока В.

Максиминный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором максимизируется показатель эффективности.

При этом выигрыш – максимин, или нижняя цена игры.

Минимаксный принцип: принцип выбора эффективной стратегии, при котором минимизируется показатель неэффективности.

При этом проигрыш - минимакс, или верхняя цена игры.