34. Обобщённый критерий Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей.
Критерий Гурвица был выдвинут в 1951 году Леонидом Гурвицем, как некоторая альтернатива, попытка разработать промежуточный критерий, который учитывает критику критериев Вальда и максимакса. В научной литературе он именуется критерием Гурвица: «Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица с коэффициентом оптимизма λ [0,1] оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей».
Данный критерий позволяет учитывать комбинацию наихудших состояний. Смысл его состоит в нахождении по специальной формуле эффективности всех стратегий игрока А и последующее сравнении данных показателей эффективности для выбора наиболее оптимальной стратегии, при условии полной неопределённости, т.е. вероятности состояния природы нам неизвестны. Другими словами, при выборе решения мы находим некоторый средний результат при состоянии, находящемся между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом.
Критерий Гурвица целесообразно применять в следующих ситуациях:
Информация о состояниях окружающей среды отсутствует или недостоверна;
Необходимо считаться возможным появлением наихудшего и наилучшего состояния природы;
Допускается некоторый риск.
Рассмотрим игру с природой размера m x n, m 2, n 2, с матрицей A= (aij), где i=1,2,…,m, а j=1,2,…,n. Пусть A1 ,A2 ,…,Am – чистые стратегии игрока А и П1,П2,...Пn – состояния природы П. Вероятности состояний неизвестны.
Введём специальный коэффициент λ [0,1], которым обозначим количественную «меру оптимизма» игрока А при выборе стратегии. Данный коэффициент выбирает сам игрок, на основании интуиции, личного опыта, состояния окружающей среды или на основе статистических исследований результатов принятия решений.
Эффективность чистой стратегии Ai в смысле критерия Гурвица [(Hur)p (λ)] характеризуется показателем:
(Hur)pi (λ)= (1- λ)Wi + λMi , i = 1,2,…,m, (2.1)
где Wi и Mi - показатели эффективности стратегии Ai соответственно по критерию Вальда и по максимаксному критерию.
Таким образом, Игрок А при использовании критерия Гурвица с коэффициентом λ [0,1] занимает более взвешенную позицию, чем если бы он применил критерий Вальда или максимаксный критерий.
Если открыть скобки в равенстве (2.1) и несколько преобразовать данное выражение, то можно получить показатель эффективности (Hur)pi (λ) в форме линейной функции от аргумента λ [0,1] с угловым коэффициентом (Mi -Wi):
(Hur)pi (λ) = (Mi -Wi) λ + Wi (2.2)
Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гурвица с коэффициентом оптимизма λ относительно выигрышей или (Hur)p (λ)-ценой в чистых стратегиях называется максимальный из показателей эффективности:
(2.3)
Оптимальной во множестве чистых стратегий по критерию Гурвица с коэффициентом λ относительно выигрышей, или (Hur)p (λ) – оптимальной во множестве , называется чистая стратегия Ak с наибольшим (Hur)p (λ)-показателем эффективности:
(2.4)
Из определений (2.2) и (2.3) очевидно, что критерий Гурвица оптимальности чистых стратегий относительно выигрышей при λ = 0 превращается в критерий Вальда оптимальности чистых стратегий, а при λ = 1 – в максимаксный критерий оптимальности чистых стратегий.
Составим общий алгоритм нахождения оптимальной чистой стратегии игрока А относительно выигрышей с использованием критерия Гурвица:
1) Выбираем по строкам наименьший выигрыш и заполняем колонку Wi ;
2)Выбираем по строкам наибольший выигрыш и заполняем колонку Mi ;
3)Находим эффективность чистой стратегии по формуле:
(Hur)pi (λ)= (1- λ)Wi + λMi ; результаты заносим в соответствующую колонку в таблицу;
4)По методу максимина (критерий Вальда) и максимакса определяем наибольший из всех расчётных выигрышей в колонках Wi и Мi; по наибольшему значению (Hur)pi определяется оптимальная чистая стратегия данного игрока.
5)Для разрешения конфликтной ситуации составляем таблицу Гурвица относительно игрока В. В таблице меняем платёжную матрицу.
6)Далее также применяем обобщенный критерий Гурвица и метод максимина относительно игрока В.
7)Игрок,
разрешающий конфликтную ситуацию
определяется по наибольшему расчётному
выигрышу из соответствующих оптимальных
стратегий игроков,
т.е. используется формула
.
Выбор показателя оптимизма λ логичен: вместо того, чтобы придерживаться двух крайностей в оценке ситуации в большинстве случаев целесообразно придерживаться некоторой промежуточной позиции, которая учитывает как наихудшее, так и наилучшее поведение природы.
Пример пример об инвестировании средств инвестора Aв приобретение акций одной из трех компаний K1,K2, K3. При этом онруководствуется доходностью акций, данные одинамике которых (в годовых процентах)представлены в каждом из четырех месяцев вследующей таблице:
Предположим, что операциюприобретения акций инвестор A совершаетмногократно, задаваясь каждый раз в условияхнеопределенности вопросом: акции какой изкомпаний выгоднее приобрести? В качестве математической моделиописанной ситуации можно рассмотреть игру сприродой, в которой роль сознательного игрокаиграет инвестор A, имеющий в своемраспоряжении три чистых стратегии Ai — приобрести акции компании Ki, i = 1,2, 3, а роль природы П исполняет ситуация нафондовом рынке, влияющая на доходность акцийкомпаний случайным образом, объективно непротиводействуя осознанно интересам инвестора A,и абсолютно безразличная к результатам игры.Природа П может находиться в одном из своихчетырех состояний П1, П2,П3, П4. Инвесторукаждый раз надлежит прини-мать решение вусловиях неопределенности, какой компанииотдать предпочтение? Расположив доходности в каждой строкематрицы (4.1) в неубывающем порядке, получимматрицу
в первом столбце которой стоятнаименьшие доходности, в последнем, четвертом,столбце — наибольшие доходности, а в последнейстроке bj— сумма доходностей j-гостолбца матрицы (4.2) (см. (3.3)). Просуммировавэлементы последней строки матрицы (4.2), получимсумму всех элементов этой матрицы (или, что то же,матрицы (4.1)): b = 102 (см. (3.5)). Оптимальные стратегии будем пониматьв смысле обобщенного критерия Гурвица,коэффициенты которого выбираются в зависимостиот того, как оценивает инвестор A ситуацию, вкоторой надо принимать решение. Предположим,
что
инвестор
A
оценивает
ситуацию
пессимистически.
Тогда,
выбирая
коэффициенты
и,
значит
(см.
(3.1) и
(3.2)), показатель
пессимизма
и
показатель
оптимизма
соответственно
равны
Показатели эффективности стратегий Ai, i = 1, 2, 3, по обобщенному критерию Гурвица с коэффициентами (4.3) (см. (2.3)), равны (см. [7]): G(A1) = 7,98; G(A2) = 7; G(A3) = 8,31. Поэтому цена игры в чистых стратегиях (см. (2.4)) равна Рассмотрим смешанную P=( p1=0,5; p2= 0; p3= 0,5) стратегию и вычислимпо формулам (2.1) выигрыши игрока A при этойсмешанной стратегии и при каждом состоянииприроды П:
Расположим эти выигрыши в неубывающемпорядке:
Таким образом, для смешанной стратегии P=( 0,5; 0; 0,5) номера lj, j = 1, 2, 3, 4 (см. (2.2)), имеют значения , l1 = 1, l2 = 3, l3 = 2, l4 = 4. Теперь мы можем вычислить по формуле (2.3) показатель эффективности стратегии P=(0,5; 0; 0,5):
Таким
образом,
показатель
эффективности
смешанной
стратегии
P=(0,5;
0; 0,5), равный
8,54, выше
показателя
эффективности
оптимальной
в
множестве
чистых
стратегий
стратегии
A3,
равного
8,31. Поэтому
если
рассмотреть
множество
S
=
В предметных терминах это означает,что, многократно приобретая акции, инвестору A нецелесообразнокаждый раз придерживаться стратегии A3,т.е. приобретать акции компании K3, ацелесообразнее использовать смешаннуюстратегию P=(0,5; 0; 0,5), т.е.приобретать акции случайно выбранной компаниииз двух компаний K1 и K3 свероятностью 0,5 для каждой и не покупать акциикомпании K2. Приведенный пример показывает, чтоесли оптимальность стратегий понимать в смыслепредлагаемого обобщенного критерия Гурвица скоэффициентами, вычисляемыми в опасной ситуациипо принципу невозрастания средних выигрышей, тоиспользование не только чистых, но и смешанныхстратегий может увеличить выигрыш игрока A .Таким образом, рассмотренный пример оправдываетраспространение обобщенного критерия Гурвицаотносительно выигрышей для чистых стратегий насмешанные стратегии. |
(4.1)
(4.2)
по
формулам
(3.7), получим
,
,
,
,
(4.3)
,
.
U{P},
получающееся
присоединением
к
множеству
чистых
стратегий