38/39 Критерий Гермейера оптимальности чистых стратегий

При использовании этого критерия исходная платёжная матрица заменяется матрицей Гермейера. Каждый элемент матрицы мы домножаем на соответствующую вероятность j состояния природы.

для матрицы выигрышей,

для матрицы потерь.

Критерий Гермейера применяют игроки не склонные к риску, т.к. каждая стратегия оценивается с точки зрения min по гарантиров. результата.

Состояние природы образует минимум а затем игрок выбирает стратегию которая принесёт ему максимальный результат. Т.е. он защищает себя.

1) Пусть матрица А является матрицей выигрышей игрока А.

2) Даны вероятности qi=p(Пj), j=1,…,n, состояний природы Пj, j=1,…,n, удовлетворяющие условию (1).

Т.о. игрок А находится в ситуации принятия решений в условиях риска

3) Положим l=1 и

(15)

Таким образом, матрица В представляет собой вектор столбец

В=

размера m x 1.

4) Полагаем l1=1. Условие (2), очевидно, выполняется.

5) Показатель эффективности стратегии Аi по критерию Гермейера определяем по формуле (3) с учетом (15) и того, что l1=1:

(16)

Если игрок А придерживается стратегии Аi, то вероятность выигрыша aij при этой стратегии и при состоянии природы Пj равна, очевидно, вероятности qj этого состояния природы. Поэтому формула (16) показывает, что показатель эффективности стратегии Аi по критерию Гермейера есть минимальный выигрыш при этой стратегии с учетом его вероятности.

6) Цена игры по критерию Гермейера определяется по формуле (4):

7) Оптимальной стратегией по критерию Гермейера считается стратегия Аk с наибольшим показателем эффективности:

Gk= G

Заметим, что критерий Гермейера можно интерпретировать как критерий Вальда, применимый к игре с матрицей

Критерий Гермейера так же, как и критерий Вальда является критерием крайнего пессимизма игрока А, но, в отличие от критерия Вальда, игрок А, принимая решение с максимальной осмотрительностью, учитывает вероятности состояний природы.

В случае равномерного распределения вероятностей состояний природы: qj=n-1, j=1,…,n, показатель эффективности стратегии Аi, в силу формулы (16), будет равен Gi=n-1aij и , следовательно, критерий Гермейера эквивалентен критерию Вальда, т.е. стратегия, оптимальная по критерию Гермейера, оптимальна и по критерию Вальда, и наоборот.

Пример.

Исходная матрица

	, q=0,4	, q=0,2	, q=0,1
	9	4	1
	7	1	8
	11	3	7

Далее умножаем каждый элемент в столбце на соответствующий коэффициент q. Получим следующую таблицу :

	, q=0,4	, q=0,2	, q=0,1	VGi в.	VGi п.
	3,6	0,8	0,1	0,1	3,6
	2,8	0,2	0,8	0,2	2,8
	4,4	0,6	0,7	0,6	4,4

В столбце V^G_{i в.} Находим миним. Элементы по строкам , а в столбце V^G_{i п.} находим макс. Элементы.

Далее находим V^G_{i в} (maxmin) , и V^G_{i п.} (minmax)

Получаем следующий ответ : S^*=S₃ , V^*=0,6 - выигрыш

S^*=S₂ , V^*=2,8 - потеря