3. Функция выигрыша и матрица выигрышей. Чистые стратегии игроков. Соотношение между матрицами выигрышей игроков a и b в антагонистической игре.

Рассмотрим парную игру с игроками А и В. Пусть игрок А имеет т стратегий ={А₁, A₂, ..., А_т},а (противник) игрок В - пстратегий ={В₁, B₂, ..., В_п}. Натуральные числа т и пв общем случае никак не связаны между собой.

Если каждый из игроковАи В сознательно определенным образом выбирает стратегии А_iи В_jсоответственно, то сложившаяся ситуация (в чистых стратегиях) (А_i,B_j) однозначно определяет выигрыш игрока А, выражающийся действительным числом а_ij, которое одновременно является и проигрышем игрока В. А число (-a_ij)выражает проигрыш игрока А и выигрыш игрока В. Если число a_ijотрицательно, то в принятой нами формализованной терминологии оно будет представлять отрицательный выигрыш игрокаА, а по сути - его проигрыш. Числа а_ij - это значения функции выигрыша F_Aигрока A: F_A(i,j) = F_A(A_i,B_j) = а_ij.Ходы игроков с сознательным выбором одной из возможных своих чистых стратегий называют иногда личными ходами.

Выигрыши a_ij,i = 1, ..., m, j= 1, ...,n, можно расположить в виде матрицы, номера строк которой соответствуют номерам стратегий игрокаА, а номера столбцов - номерам стратегий игрока В.

A=

Bj Ai	B1	B2	…	Bn
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

МатрицаАназывается матрицей выигрышейигрока A.

Обозначим через b_ij значения функции выигрыша F_B игрокаВ,т. е. F_B(j,i) = F_B(В_j,A_i) = b_ji,j = 1, ..., n,i= 1, ..., т.Тогда матрица выигрышей игрока В будет иметь вид

AiAi B= Bj	A1	A2	…	Am
B1	b11	b12	…	b1n
B2	b21	b22	…	b2n
…	…	…	…	…
Bn	bn1	bn2	…	bnm

Если рассматриваемая игра - антагонистическая (т.е. с нулевой суммой выигрышей), то функции выигрышей F_Aи F_BигроковАи В связаны между собой равенством F_B(B_j, A_i) = -F_A(A_i, B_j), i = 1, …, m,j = 1, ...,nи, следовательно,

b_ji = F_B(B_j, А_i)= -F_A(A_i,B_j) = -а_ij,i= 1, ..., т, j = 1, ..., n.

Эти равенства означают, что матрица выигрышейВигрока В является противоположной транспонированной матрице A: B= -A^T.

Таким образом, матрицаВвполне определяется матрицей А. Матрицу Атакже называют матрицей игры,или платежной матрицей.Матрица Аимеет размер т × п,где первая компонента размера т указывает на число строк (т.е. число стратегий игрока А),а вторая п - на число столбцов (число стратегий игрока В). Поэтому часто такую игру называют т × п - игрой.

Отметим, что матрица игры существенно зависит от упорядочений множеств и стратегий игроковАи В. При другой нумерации стратегий этих множеств мы получим, вообще говоря, другую матрицу игры. Так что одна и та же игра может описываться различными матрицами. Но при всевозможных матрицах игры функция F_Aвыигрыша игрокаАостается одной и той же, определенной на декартовом произведении × с множеством значений в множестве действительных чисел R . Это замечание относится и к функции F_Bвыигрыша игрока В.

Всякую конечную антагонистическую игру можно привести к матричной форме.

Матрица игрыАформируется в зависимости от значений функции выигрыша F_A, которая может задаваться таблично, аналитически (в виде формулы) или словесно-описательным способом.

Для того чтобы совокупность { , ,F_A}, представляющая антагонистическую игру, стала обозримой, необходимо перечислить возможные стратегии игроков, т.е. сформировать множества и ,и формализовать правила, по которым развивается конфликт, в виде функции выигрыша F_A.