3.5 Оптимальне керування з використанням зворотного зв'язку і математичної моделі об'єкту

При використанні розглянутих вище аналітичних методів розв’язку задачі динамічної оптимізації збурення або не враховувалися, або розглядалися як відомі функції часу. Однак у реальних умовах існує ряд неврахованих факторів (збурюючи впливи, що не спостерігаються, дрейф параметрів чи інші причини появи невідповідності між об'єктом і його моделлю), які призводять до відхилень дійсних траєкторій Х (τ) від оптимальних X* (τ). В цих умовах корекція траєкторій Х (τ), і отже, U (τ) виробляється з використанням зворотного зв'язку. Остання, як відзначалося вище, може використовуватися або тільки для корекції траєкторій (керування з використанням С-моделі), або для корекції параметрів моделі і траєкторії (керування з використанням А-моделі).

Структурна схема системи керування з використанням С-моделі приведена на рис.3.4, а. Система керування cкладається з об’єкта керування ОК і керуючого пристрою, який включає в себе .блок оцінювання змінних стану об’єкта БОЗС, математичну модель об’єкта ММ і блок оптимального керування БОК.

Спочатку оптимальні траєкторії визначаються в БОК за допомогою математичної моделі й одного з розглянутих вище методів. Потім на кожному інтервалі , крім першого, проводиться корекція частини траєкторії, що залишилася, (на часовому відрізку за умови, що ,

де - оцінки вектора стану; ε – мала дійсна величина.

Таким чином, прогнозування подальшого ходу процесу і корекції дійсних траєкторій проводиться шляхом перерахування останніх на кожному кроці Δτ для нових початкових умов, рівних поточній оцінці вектора станів

.

Таке керування відносять до керувань із прогнозуючою моделлю, яка у даному випадку є швидкою моделлю, оскільки працює в прискореному часі τ/χ, де χ>>1. Подібні системи називають також двошкальними, тому що вони мають дві тимчасові шкали: швидку, в якій працює модель об'єкта, і повільну, в якій працює об'єкт. Аналогічні алгоритми керування використовують і при оптимізації стохастичних систем.

Z

U X

ОК

БОЗС

ММ

БОК

а)

Z

ОК

БОЗС

БК

ММ

БОК

U X

Керуючий пристрій

C

б)

а – з постійними параметрами;

б – з коректованими параметрами

Рисунок 3.4 – Структурні схеми систем оптимального керування з використанням зворотного зв’язку і математичної моделі об’єкта

При розробці систем керування з використанням зворотного зв'язку і математичної моделі об'єкта приходиться насамперед розв’язувати задачу оцінювання вектора стану. Виникаючі тут ускладнення, зв'язані насамперед з тим, що кількість вимірювальних пристроїв, як правило, менша кількості компонент вектора змінних стану X, тому вимірюваними вихідними змінними об'єкта виявляються або окремі компоненти вектора X, або їхні комбінації.

Існує декілька груп методів оцінювання вектора стану. Перша група (класичні методи) зв'язана з одержанням інформації про невимірювані компоненти вектора стану шляхом диференціювання (необхідну кількість раз) вимірюваних вхідних і вихідних величин. Ускладнення, що тут виникають, обумовлені тим, що пристрої вимірювання похідних дуже чутливі до різного роду перешкод. Тому практично такий метод рідко застосовується.

Друга група методів заснована на використанні ідентифікатора, який неперервно формує оцінку вектора стану за допомогою неперервно вимірюваних вхідних і вихідних змінних об'єкта. До таких ідентифікаторів, розроблених в основному для лінійних об'єктів, відносяться асимптотичний ідентифікатор, який має однакову з об'єктом розмірність, та ідентифікатор Луенбергера, порядок якого менший порядку об'єкта на кількість лінійно незалежних вимірюваних виходів об'єкта. В цих пристроях для забезпечення бажаного процесу оцінювання використовують зворотний зв'язок по виходу об'єкта, що здійснює корекцію параметрів ідентифікатора.

І нарешті, пристрої третьої групи методів відновлюють значення компонентів вектора стану в момент часу τ_н за результатами спостереження і запам'ятовування вхідних і вихідних змінних об'єкта за час його пам'яті Т_п. Одна з модифікацій цієї групи методів називається методом передісторії впливів. Час пам'яті Т_п у цьому випадку визначається як найбільша кінцева пам'ять τ_п, тобто інтервал часу , за який стани об'єкта і моделі, що зазнають з моменту часу τ_н однакові впливи, починають співпадати.

Структурна схема системи керування з використанням А-моделі приведена на рис. 3.4, б, відрізняється від схеми на рис. 3.4,а наявністю блоку корекції, основна задача якого зводиться до корекції параметрів моделі. Блок корекції і власне математичну модель об'єкта звичайно розглядають як складові частини адаптивної моделі (А-моделі). Розрізняють пошукові і безпошукові адаптивні моделі. В перших блок корекції варіює параметри моделі, мінімізуючи функцію нев’язки виходів моделі й об'єкта. У безпошукових А-моделях блок корекції здійснює розрахунок і корекцію параметрів моделі в залежності від значень компонентів векторів вхідних і вихідних змінних об'єкта. Безпошукові адаптивні моделі, в яких блок корекції здійснює тільки розрахунок параметрів, називають також аналітичними. Аналітичні моделі мають найменший час настроювання, однак гірші точнісні характеристики в порівнянні з пошуковими моделями.

При використанні прогнозуючої А-моделі, крім задачі задання в моделі початкових умов, зв'язаних з оцінюванням змінних стани об'єкта, і задачі синтезу оптимального керування виникає задача прогнозування збуреного руху об'єкта із врахуванням зміни неспостережуваної змінної. Оскільки точність такого прогнозу недостатньо висока, особливого значення набуває вибір тимчасового інтервалу на якому розв’язується задача динамічної оптимізації для нових початкових умов, що визначаються з допомогою поточної оцінки вектора станів . Тут існують два підходи. При першому – час прогнозу τ_oп приймається рівним тимчасовому інтервалу, що залишився до закінчення процесу, тобто ; при другому – і збурений рух об'єкта прогнозується на деякому ковзному інтервалі часу. Перший підхід є більш обґрунтованим з погляду оптимальних чи субоптимальних динамічних керувань. Труднощі, які при цьому виникають, пов'язані з тим, що при збільшенні τ_oп зменшується точність прогнозу і збільшуються складність розв’язку задачі. В той же час розв’язок оптимізаційної задачі на ковзному тимчасовому інтервалі приводить до неоптимальних траєкторій керування, причому відхилення їх від субоптимальних траєкторій тим більше, чим менше τ_oп. В границі функціонал вироджується у функцію, а варіаційна задача – у задачу оптимізації по параметру. Існують рекомендації щодо вибору параметрів Δτ, τ_oп і χ при використанні ковзного тимчасового інтервалу: і (для технологічних процесів з аперіодичним чи слабоколивним характером перехідних процесів), де М – кількість варіантів, що розраховуються, при пошуку оптимального розв’язку.