2 Математичний опис періодичних процесів харчових виробництв

2.1 Основи побудови математичних моделей періодичних процесів

При реалізації розглянутих процесів в апаратах періодичної і безперервної дії перехід від однієї стадії циклу до іншої часто змінює цільове призначення процесу і закономірності, яким він підкоряється, що в деяких випадках вимагає зміною структури математичної моделі, що описує технологічний, процес. Це дає можливість класифікувати АПД і АПНД як об'єкти керування з перемінною структурою. Такі об'єкти, як об'єкти безперервної дії з обмеженнями об'єкти системного проектування відносяться до складних, для опису яких необхідно використовувати аналітичні і логічні залежності.

Логіко-динамічна модель (ЛДМ) є найбільш повною формою математичного опису АПД. Деякі стадії АПНД з безперервно протікаючими процесами можуть бути описані за допомогою логіко-статичних моделей (ЛСМ), у яких аналітична частина не містить диференціальних чи інтегральних зв'язків і не залежить явно від часу ЛДМ, як найбільш повна форма математичного опису АПД, може трансформуватися в логічну модель при описі без інерційних АПД чи в динамічну модель — при описі якоїсь однієї стадії АПД чи відсутності перемикальних операцій.

Логічна частина моделі (логічна модель) визначає послідовність переключень виконавчих органів АПД (при наявності визначених логічних умов), необхідних для нормального функціонування об'єкта на різних стадіях його циклу.

Переключення виконавчих органів в автоматичному чи автоматизованому режимі керування здійснюється під впливом команд — вихідних сигналів логічного керуючого пристрою, у загальному випадку — кінцевого автомата. Тому, що алгоритм функціонування керуючого автомата може бути заданий за допомогою логічних схем алгоритмів, граф-схем алгоритмів, мови циклічних процесів, мови ЯРУС маркірованого графа чи інших подібних мов, проте одна з цих мов може бути використаний для розробки логічної моделі АПД.

Логічні схеми алгоритмів (ЛСА) являють собою вирази, складені з записаних у порядку виконання операторів (великі латинські букви А, У, З, ...), і логічних умов (малі латинські букви р, q, r, ...), які разом з нумерованими стрілками визначають порядок виконання операторів.

Різні оператори чи логічні умови можуть позначатися однієї і тією же буквою, але з різними індексами: А₁, А₂,...,В₁,В₂,...,р₁,р₂,...,q_1,.q₂,....Оператор початку позначення через А₀, оператор кінця — А_к чи крапкою. Пояснення до позначень застосовуваних у ЛСА операторів, логічних умов, нумерованих стрілок і їхніх сполучень приведені в табл. 2.1.

Недоліком ЛСА (як і розглянутих нижче граф-схем алгоритмів) є відсутність засобів для опису паралельно виконуваних операторів. Тому запропоновані різні розширення ЛСА, що дозволяють описувати рівнобіжні процеси. Спеціальні оператори і додаткові символи одного з таких мов — мови ПЛСА — також приведені в табл. 2.1. До них відносяться оператор і стрілки розпаралелювання, а також оператор і стрілки з'єднання.

Мова циклічних процесів (МЦП) є розвитком ЛСА з урахуванням специфіки розробки логічних керуючих пристроїв для циклічних технологічних процесів. За допомогою МПЦ записуються формули, що містять символи операторів (А₁,..., А_і, а_j, ..., А_s), логічні умови (Q₁, ..., Q_i, ..., Q_l ) і знаки зв'язку — рядкові і надрядкові стрілки, знаки розгалуження, переносу і кінця. Пояснення до позначень мови циклічних процесів приведені в табл.2.2. Логічні умови у формулі МЦП приводяться в квадратних дужках.

Формула МЦП складається з горизонтальних рядків, на початку яких повинний наводитися оператор початку, логічна умова чи вхідна мала літера, а наприкінці — вихідна рядкова стрілка, знак розгалуження чи знак кінця (крапка з коми). Формула МЦП читається рядково, ліворуч праворуч, від початкового до кінцевого символу.

Логічні умови залежать від вхідних змінних керуючого пристрою і виражаються за допомогою елементарних функцій логічних змінних, які в деяких випадках самі можуть бути представлені елементарними функціями. Якщо виконується логічна умова, яка стоїть після знака розгалуження, то включається оператор наступний за логічною умовою і виключається оператор, що знаходиться перед знаком розгалуження. Причому перехід до інших рядків, записаних після знака

Таблиця 2.1-Пояснення до позначень ЛСА і ПЛСА

Найменування	Позначення	Пояснення
1	2	3
Оператори	А, У, З, ...або А1, А2, А3...	Виконуються в порядку запису ліворуч праворуч при відсутності ліворуч логічних умов­ якщо вони виконуються (pi= 1)
Парні оператори	Ai і Аі*	Відповідають сигналам вмикання і вимикання
Логічні умови (ЛУ)	Р1 ,Р2,Р3...	При виконанні ЛУ (р1 = 1) відбувається перехід до оператора, що коштує після ЛУ; при невиконанні ЛУ {pi =0) — перехід до оператору по стрілці
Нумерована стрілка. початок кінець	↑і ↓і	Початок стрілки стоїть праворуч від ЛУ, при невиконанні якого здійснюється пе­рехід до оператора, ліворуч від якого стоїть кінець стрілки
Тотожньо-помилкові ЛУ	ω	Завжди приймають нульове помилкове значення і тому не Вимагають перевірки
Що чекають ЛУ	↓і qi ↑іабо qi	Виконання процесу по ЛСА почнеться за умови зміни «Чи свого значення с 0 на 1
Тимчасове ЛУ	Pi (τн Т τв) ↑і	До моменту τ0+ τд (τд — момент ввімкнення тимчасового Л У рі) ніякі дії не проводяться} у період Т при pі= 1 здійснюється перехід до оператора, що стоїть праворуч від pi, при pi = 0 — перехід по стрілці можливий тільки після моменту часу τ0+ τв
Продовження табл.2.1
1	2	3
Тимчасово- очікуюче ЛУ	qi (Т τв) ↑і	При qi = 1 відбувається перехід до оператора, що стоїть праворуч від qi; при qі= 0 перехід по стрілці можливий тільки після моменту часу τ0+ τв
Оператор розпаралелюва- ння	R	Визначає перехід до виконання рівнобіжних частин алгоритму
Стрілка розпаралелювання початок кінець	↑jl ↓l	Початок стрілки стоїть праворуч від оператора розпаралелювання і тотожньо-помилкового ЛУ й означає перехід до l-ій параллельній ділянці, на початку якогї стоїть кінець стрілки розпаралелюва-ння; нижній індекс j відповідає числу рівнобіжних ділянок, що випливають за даним оператором розпаралелювання
Оператор з'єднання	S	Виконується після того, як закінчиться виконання всіх з’єднюючих в ньому паралельних ділянок
Стрілка з'єднання: початок кінець	↑к ↓мк	Початок стрілки стоїть праворуч від останнього члена кожної рівнобіжної ділянки, що закінчується тотожньо-помилковим ЛУ й означає перехід до кінця стрілки, що установлюється праворуч від оператора з'єднання S; нижній індекс т відповідає числу рівнобіжних ділянок, що з'єднуються в даному операторі з'єднання

Таблиця 2.2-Пояснення до позначень мови циклічних процесів

Найменування	Позначення	Пояснення
1	2	3
Оператор початку	А0	Діє постійно, на нього не впливають інші оператори
Безумовний оператор		Впливає на об'єкт керування, змінюючи значення сигналів zi з 1 на 0 і zj з 0 на 1 на вході об'єкта
Умовний оператор		Впливає на об'єкт керування, змінюючи значення сигналів zi, з 1 на 0 завжди і zj з 0 на 1 тільки при додатковій умові
Порожній оператор	Аіø	Відповідає операції, при виконанні якої немає впливу на об'єкт керування
Логічні умови	Qk	При виконанні ЛУ (Qk = 1) під час дії вмикаючого оператора, починає діяти вмикаючий оператор ; якщо Qк =0, оператор що включається оператор не діє
Рядкові стрілки: вихідна вхідна		Відповідає операції переходу від ЛУ (перед вихідною стрілкою) до оператора (після вхідної стрілки) чи від оператора до ЛУ
Надрядкові стрілки: вихідна вхідна		Відповідають відношенню вимикання:вхідна стрілка ставиться над символом оператора, що виключається, а вихідна-під символом оператора, що виключає
Знак розгалуження	...Аі	Можливий перехід від оператора, що включає, аі до одного із безлічі операторів Аj1,..., Ajp

розгалуження, при цьому неможливе. Початок і кінець дії операторів не збігаються за часом.

У загальному виді формула МЦП може бути записана у вигляді системи виразів

А_і (2.1)

де і = 0, 1, 2, ..., s; A_i — оператор, що включає; j = 1, 2, ...,q; V — диз'юнкція; Q_i+1,j — логічна умова; A_i+1,j — оператор, що включається.

Граф-схема алгоритмів (ГСА) являє собою графічний аналог ЛСА у виді орієнтованого зв'язного графа, у якому операторна вершина відповідає оператору, а умовна — логічним умовам. Крім того в ГСА входить також початкова і кінцева вершини. Зображення вершин ГСА приведені на рис.2.1.

Динамічна частина моделі описує реакцію інерційного об'єкта на керуючі сигнали (команди), що надходять на початку операції чи стадії, і впливи, що збурюють.

У загальному виді динамічна частина ЛДМ АПД представляється як нестаціонарна математична модель динаміки об'єктів з розподіленими координатами:

, (2.2)

де f — вектор-функція; х — вектор вихідних координат об'єкта;

u, z — вектори координат відповідно керуючих і що обурюють

а — початкова, б — операторна; в — умовна; г — кінцева

впливів; а — вектор параметрів моделі; τ — час; l — просторова координата.

Рисунок2.1-Вершини графи-схеми алгоритмів.

У більшості АПД розподіл змінних по просторовій координаті або відсутній, або незначний. У цьому випадку модель (2.2) прийме вигляд

(2.3)

або

(2.4)

де ( і= 1,2, ..., n — номер циклу після відбудовного ремонту апарата.

Залежність f і а від зв'язана з одним чи обома видами, не стаціонарностей властивих АПД: внутріцикловий і між цикловий.

Існують різні форми сполучень логічної і динамічний складових при утворенні логіко-динамічної моделі. Основні труднощі, що тут виникають, зв'язані з відсутністю математичної мови, необхідної для оперування з функціями, аргументи і значення яких задані на безлічі різних потужностей.

Один з напрямків створення такої математичної мови зв'язаної з використанням спеціальних функцій, зокрема гібридних функцій Терно:

G (x₁, .... x_l) =f (x_i, ... , x_n)F (x_j, ..., x_m), (2.5)

де G — гібридна функція l перемінних; f — числова функція п — i — реальних перемінних; F — функція предикатів [(предикат, формула або квантор) т — j — перемінних; 1 ≤ i < п≤ l,1≤ j <m<l;

Причому F (х_j,... , x_m)=

таким чином, гібридна функція відмінна від нуля тоді, коли предикат або функція предикатів є істиною. Приведена гібридна функція дозволяє виконувати над нею алгебраїчні операції, задача диференціювання цих функцій поки не вирішена. Як логічну частину функцій, аналогічних гібридним, використовують також прямокутні і селектуючі функції.

Можливі й інші напрямки в створенні ЛДМ, зв'язані зокрема з трансформацією логічної моделі за рахунок введення в неї аналітичних функцій, чи зміни структури динамічної моделі при використанні логічних функцій. На базі ЛСА, ГСА, формул МЦП чи інших подібних мов можуть бути побудовані ЛДМ, якщо в указаній схемі чи формулі ввести динамічний оператор об'єкта (ДОО). Наприклад, систему виразів можна представити в наступному вигляді:

(2.6)

де після фігурних дужок і другого знака проходження приведений динамічний оператор об'єкта f_i+1,j описуючий реакцію об'єкта на керуючі сигнали, що надійшли через оператор, що включається, і збурювання .

Таблиця 2.3-Таблична ЛДМ чотирьох стадійного АПЛ

Стадія і операція	Логічні Умови	Керування		Збурення	Реакція об’єкта
		Опе­ратор	Команди
1	2	3	4	5	6
Завантаження	рзг	Азг	uзг1, uзг2,…	zзг (τ)	xзг (τ)
Перша операція рабочої стадії	P1	ai	u1,u2,…	Zl (τ)	Xl(τ)
Остання операція робочої стадії	рп	An	un1,un2,…	zn(τ)	xn(τ)
Розвантаження	Рвг	Авг	uвг1,uвг2,... • • •	zвг (τ)	Xвг (τ)
Чистка	Рчс	Ачс	uчс1.,uчс2,…	zчс (τ)	xчс

Надалі вирази типу (2.7) будемо називати формулами динамічної мови циклічних процесів (ДМЦП), а при введенні ДОО в ЛСА останні — логіко-динамічними схемами алгоритмів (ЛДСА). Динамічний оператор об'єкта (ДОО) вводять у логічну частину моделі, з огляду на наступні положення:

ДОО записують для кожної інерційно змінної керованої змінної, від якої залежить виконання логічних умов;

ДОО поміщають після оператора, що включається, перед ЛУ;

ЛУ, наступні після ДОО, є логічними функціями дискретних значень їх керованих змінних;

послідовно записані ДОО і ЛУ (очікуючі ЛУ) можуть бути замінені тимчасовими логічними умовами при використанні замінного ДОО для розрахунку затримок тимчасових ЛУ.

Останнє положення використовують при відсутності вимірювальних перетворювачів, необхідних для одержання інформації про вихід ДОО.

Також як за допомогою граф-схем алгоритмів можливо графічне представлення ЛСА, для графічного представлення ЛДСА використовуємо динамічні графи-схеми алгоритмів (ДГСА), у які в додавання до операторної і умовної вершини (рис.2.1) введемо інерційну вершину, що відповідає динамічному оператору об'єкта. Інерційні вершини будемо зображувати еліпсами з вписаними в них динамічними операторами об'єкта. При використанні такої схеми має значення наявність або відсутність тимчасових логічних умов, тому останні усередині умовної вершини позначимо р^τ_ij.

Найбільш простою у цьому відношенні формою представлення ЛДМ АПД є таблична. У табл.2.3 приведена ЛДМ чотирьохстадійного АПД (завантаження, робоча стадія, вивантаження, чищення), робоча стадія якого має п операцій. Логічні умови завантаження Q_зг; операцій робочої стадії Q_i, ..., Q_n; вивантаження Q_вг і чищення Q_чс визначають стан об'єкта і зовнішні впливи, при яких здійснюється перехід від однієї операції циклу до іншої під дією відповідних команд (сигналів) u_зг1,u_зг2,...,u₁,u₂,…,u_вг1,u_вг2…,u_чс1,u_чс2, стосовних до відповідного операторам А_зг, А₁,...,А_n,А_вг,А_чс. Динамічна частина моделі представлена векторами вихідних координат x_зг(τ),х₁(τ),...,х_n(τ), х_вг(τ),х_чс(τ), що описують реакцію інерційного об'єкта на вектори команд і вектори впливів, що обурюють, z_зг(τ),z₁(τ),...,z_n(τ), z_вг(τ),z_чс(τ).Нижче описаний варіант трансформації ГСА, що із введенням динамічної частини, може бути використана для побудови ЛДМ у вигляді динамічної графи-схеми алгоритму функціонування об'єкта керування.