Властивості псевдовипадкових послідовностей
Для розширення спектру використовуються (рис.7.4) псевдовипадкові послідовності (ПВП) які з однієї сторони являються шумоподібними, а з іншої – детермінованими послідовностями. Кількість символів, що утворює їх довжину, може значно перевищувати кількість інформаційних символів, тобто довжину, передаваної інформації. Таке співвідношення пояснюється тим, що такі послідовності використовуються не для передавання інформації, а лише для розширення спектру передаваного сигналу. Важливість застосування розширюючих послідовностей важко переоцінити, оскільки вибір типу таких послідовностей накладає певні обмеження на систему зв'язку та її можливості. Як вже вказувалось, двійкова розширююча послідовність відома як передавачу, так і приймачу. Коди розширення вибираються так, щоби результуючий сигнал був шумоподібним, тобто код розширення має містити приблизно однакову кількість нулів та одиниць. Крім того, сигнали з розширеним спектром не повинні корелювати між собою. Тоді всі сигнали, крім корисного, будуть подібні до шуму, що дозволить виділити тільки корисний сигнал.
Наявні дві категорії послідовностей розширення спектру:
ортогональні коди ( наприклад, послідовності Уолша);
псевдовипадкові послідовності ( наприклад, m-послідовності).
Псевдовипадкові послідовності переважно використовуються в системах FHSS, DSSS, які не використовують CDMA. В системах DSSS з CDMA використовуються як псевдовипадкові послідовності, так і ортогональні коди.
У вимогах до ПВП закладені протиріччя. З однієї сторони вони повинні задовольняти властивостям випадкового двійкового ряду чисел, а з іншої сторони передавач та приймач повинні мати їх копії, тобто результати генерації ПВП повинні бути передбачуваними. Такі вимоги можуть бути виконані за допомогою генератора псевдовипадкових чисел, що все-таки утворює періодичну послідовність, якій притаманні властивості випадкового ряду. Алгоритм генерації ПВП являється детермінованим, тому генеровані числа не являються статистично випадковими. Але отримані ПВП можуть успішно пройти багато тестів на випадковість. Суттєвим являться те, що передбачити ПВП без знання алгоритму їх утворення неможливо. Отже, успішно декодувати сигнал може тільки той приймач, якому відомий алгоритм формування ПВП.
Розгляд ПВП послідовностей доцільно розділити на дві окремі складові:
визначення характеристик, які повинні бути притаманні розширюючій кодовій послідовності, та аналіз їх впливу на систему зв'язку;
методи отримання послідовностей з такими характеристиками.
Найбільш детально розглядаються лінійні коди максимальної довжини, або m-послідовності. Саме їх застосування приводиться до значного підвищення ефективності систем зв'язку. Варто зауважити, що в даному розділі не розглядаються нелінійні коди, тому що немає необхідності їх застосування у випадках, коли не вимагається захист повідомлень від розшифрування (криптозахист). Також не розглядаються коректуючі коди, які застосовуються головним чином, для виправлення помилок в символах та словах потоку цифрової інформації.
Найбільше застосування в діючих системах отримали двійкові ПВП послідовності (pseudorandom) або псевдошумові (pseudonoise) послідовності, символи яких приймають значення 0 та 1. Для спрощення подальших викладок будемо вважати, що символи ПВП мають прямокутну форму та амплітуду рівну 1. Але між псевдовипадковими та істинно випадковими послідовностями існує суттєва відмінність. Справа в тому, що істинно випадкова послідовність являється непередбачуваною, та може бути описаною лише в статистичному розумінні. Псевдовипадкова послідовність насправді не являється випадковою послідовністю в широкому розумінні, тому що вона повинна бути відомою як передавачу, так і приймачу.
Спільним між псевдовипадковими та випадковими послідовностями являється те, що обом видам, властиві всі статистичні властивості дискретного білого шуму. Для користувача, який не являється абонентом даної мережі, псевдовипадковий сигнал буде сприйматись як справжній випадковий сигнал. Отже, основною вимогою до ПВП яляється їхня псевдовипадковість, або шумоподібність. Такі властивості ПВП, як бажана АКФ (з малими боковими пелюстками), або найбільш рівномірний амплітудний спектр, спричинені саме їхньою псевдовипадковістю. Такі ж властивості характерні для достатньо довгої реалізації БГШ. Реалізація АКФ представляється у вигляді δ-функції Дірака, а енергетичний спектр являється рівномірним.
Дані про основні вимоги для довільної двійкової послідовності, які забезпечують їй властивості як псевдовипадкової та деякі типи псевдовипадкових послідовностей приведені на рис. 7.10
Рис.7.10. Вимоги до псевдовипадкових послідовностей та їх різновидності
Для належності послідовності двійкових сигналів до ПВП, вона повинна задовольняти трьом основним вимогам:
Збалансованість, тобто для набору елементів псевдовипадкової послідовності, які далі періодично повторюються, кількість двійкових нулів та одиниць не повинна відрізнятись більше ніж на один елемент, тобто послідовність x(n)=[1,1,1,0,0,1,0] може потенційно являтись псевдовипадковою.
Циклічність, яка визначає бажаний вміст циклів в даній послідовності, причому циклом являється безперервна послідовність однойменних символів, (нулів або одиниць), а кількість символів в циклі визначає його довжину. Послідовність являється циклічною, якщо кількість циклів довжиною 1 становить приблизно половину всіх циклів, довжиною 2 - становить приблизно одну четверту, довжиною 3 - становить приблизно одну восьму і т.д.
Наприклад, послідовність x(n)=[1,1,1,0,0,1,0] містить 4 цикли (111, 00, 1, 0), причому кількість циклів довжиною 1 (тільки 1 або тільки 0) становить 2 цикли, тобто половину. Аналогічно визначимо, що кількість циклів довжиною 2 (00) ставить 1, тобто четверть від кількості всіх циклів. Отже, така послідовність може потенційно бути псевдовипадковою послідовністю.
Автокореляційна функція, тобто кількість співпадінь та неспівпадінь однойменних елементів періодичного набору псевдовипадкової послідовності та її зсунутої на один або декілька елементів копії, повинна відрізнятись не більше ніж на одиницю. Автокореляційні функції m-послідовностей вже частково розглядались в попередньому розділі на прикладі m-послідовностей (4.45), (4.49,а,б).
Розглянуті властивості можуть бути використані для перевірки двійкової послідовності на її псевдовипадковість. Очевидно, що найбільш складним являється визначення автокореляційної функції.
Варто зауважити, що при порівняльному аналізі ПВП з метою їх застосування в системах зв'язку, крім АКФ, також значний інтерес представляють значення ВКФ. Кореляційні властивості розширюючих кодових послідовностей залежать від типу послідовностей, їх довжини, частоти надходження її символів, навіть від її посимвольної структури. Саме за значеннями функцій АКФ та ВКФ вибираються більш ефективні види ПВП. Дослідження ПВП з метою використання їх в системах зв'язку можна, в основному, розділити на наступні етапи (рис.7.11). Отже, першим етапом дослідження являється аналіз способів отримання різних варіантів ПВП з метою подальшого аналізу та формування рекомендацій із застосування.
Рис. 7.11. Основні етапи дослідження ПВП для систем зв'язку