2. Узагальнені характеритики та метод “2d - 3d – 2d/ ”

При формуванні узагальнених характеристик для М-рівневих модуляцій (k=f(E_b/N_o) при P_b= const) враховано те, що в кожному конкретному випадку дослідження системи та її синтез здійснюються при фіксованому значенні P_b=const. Наприклад, узагальнена характеристика (рис.1.11, в ) сформована при значенні P_b=10^-6

а) б) в)

г)

Рис. 1.11. Характеристки енергетичної ефективності для M-PSK модуляції: (а) - типові характеристики; (б) - формування узагальненої характеристики; (в) - узагальнена характеристика; г) - сімейство узагальнених характеристик

Варто зауважити, що узагальнені характеристики можна сформувати при будь-якому іншому необхідному значенні P_b (рис.1.11,г).

З узагальненої характеристики наглядно видно , що для забезпечення заданого значення P_b=10^-6 при наявності відношення сигнал/шум E_b/N_o ≈ 16 дБ можна використовувати модуляцію при k≤3 (тобто, при k=2 – 4PSK модуляцію, при k=3 – 8PSK модуляцію). Також видно що для можливості використання модуляції при k=4 (16PSK модуляції ) необхідне значення E_b/N_o повинно становити не менше, орієнтовно, 18 дБ. З приведених прикладів видно, наскільки нагляднішим та ефективнішим при синтезі являється застосування узгагальнених характеристик, порівняно з типовими (рис.1.11,а).

Узагальнені характеристики можна розглядати як модифікацію типових характеристик енергетичної ефективності модуляції (рис.1.11,а) з метою усунення їх недоліків. Для побудови узагальнених характеристик доцільно використовувати метод «2D-3D-2D^/», який для даного випадку полягає в наступному:

• кожну з сімейства 2D характеристик для даного виду модуляції (рис.1.11,а) необхідно представити (рис.1.11,б) як просторову 3D залежність P_b=f(E_b/N_o,k);

• побудувати площину (рис.1.11,б), яка перетинає отримані залежності при заданому значенні P_b=const (в даному випадку P_b=10^-6);

• проекції точок (рис.1.11,в) отриманих перерізів на площину (k, E_b/N_o) містять дані про енергетичну ефективність модуляції;

• лінія, яка з’єднує отримані сусідні точки (рис.1.11,в), являється узагальненою характеристикою енергетичної ефективності модуляції .

О чевидно, що практичний інтерес представляють лише точки (позначені знаком « » при цілих значеннях k), а узагальнена характеристика лише наглядно вказує тенденцію зміни розташування даних точок при зміні значень k, E_b/N_o. Таким чином, згідно запропонованого методу «2D-3D-2D^/» будується спочатку одна більш інформативна «3D» залежність Pb=f(E_b/N_o, k), а її проекції на відповідні площини містять необхідну інформацію про обі часткові залежності: типові (рис.1.11 ,а) та узагальнену (рис.1.11,в). Переваги методу «2D-3D-2D^/» в тому, що він практично не вимагає збільшення вичислюваних затрат на побудову узагальнених характеристик порівняно з типовими характеристиками енергетичної ефективності. Справа в тому, що загальноприйняті характеристики вже автоматично містять інформацію, необхідну для побудови узагальнених характеристик. Щоб використати наявну інформацію необхідно виконати лише декілька наступних кроків, згідно методу «2D-3D-2D^/», які не вимагають додаткових обчислень: розмістити загальноприняті характеристики енергетичної ефективності в площині (P_b, E_b/N_o) просторової системи координат (P_b, E_b/N_o,k); кожну з залежностей змістити вздовж осі k таким чином, щоб їх значення k відповідало значенню k просторової системи координат; розмістити площину для якої P_b=(P_b)_ном. Сформована просторові конструкції містять дві необхідні інформації: проекція на площину (P_b, E_b/N_o) – загальноприйняті характеристики, а проекція на площину ( E_b/N_o,k) – узагальнені характеристики енергетичної ефективності.

В принципі узагальну характеристики для MPSK модуляції також можна отримати на основі розв’язування наступної системи рівнянь (1, табл.1.1):

(1.6)

Але такий спосіб отримання узагальненої характеристики вимагає розв’язування системи інтегральних рівнянь, що значно ускладнює та збільшує вичислювальний процес. Отже, застосування методу «2D-3D-2D^/» (при якому завдання побудови узагальнених характеристик вирішується не прямо, згідно поставлено завдання, а ніби в обхід - як побічний результат від побудови типових характеристик, які не вимагають розвязування системи рівнянь, а лише простих обчислень значень функції при заданих аргументах) являється тим інструментом, який забезпечує просте формування узагальнених характеристик.

Ще однією перевагою узагальненої характеристики (рис.1.10,в) являється апроксимації з достатньою степінню точності, кусково-лінійною залежністю, або у вигляді квадратного тричлена, що дозволяє дослідження трансцендентних рівнянь, якими описуються залежності (рис.1.11,а), замінити дослідженням значно простіших залежностей.

З приведених результатів можна зробити важливий висновок щодо узагальнених характеристик енергетичної ефективності:

• їх побудова практично не вимає збільшення вичислювальних затрат, порівняно з побудовою типових характеристик (рис.1.11,а);

• одна узагальнена характеристика замінює сімейство багатьох характеристик , які вказують на енергетичну залежність P_b=f(E_b/N_o) при k=const (k=2…n) для даного виду М-рівневої модуляції;

• узагальнена характеристика значно спрощує процес синтезу ефективних систем, дозволяючи наглядно вибрати найбільш ефективний вид модуляції;

• узагальнена характеристика просто апроксимується лінійною залежністю , що дозволяє в багатьох випадках замінити аналіз трансцендентних залежностей аналізом простих лінійних залежностей;

• узагальнена характеристика наглядно демонструє шляхи вироблення рекомендацій до технічних вимог поставлених до систем, при можливості їх корекції (наприклад з рис.1.10,в видно, що збільшивши відношення сигнал/шум, орієнтовно, на 1-2дБ можна перейти від модуляції при k=3 (8PSK) до модуляції при k= 4 (16PSK) ) та збільшити при цьому швидкість передавання інформації.