6. Дослідження m- послідовностей

Першим етапом дослідження m-послідовностей, одного з найбільш поширених класів ПВП являється їх генерація та визначення АКФ. Дослідження будемо здійснювати на прикладі m-послідовностей, довжина яких становить М=31, утворених генераторами (рис.7.15,а-г).

Значення АКФ для m-послідовностей довжиною М становить:

максимальне та нормоване максимальне значення для перідичної та неперіодичної АКФ:

А_м=М, А_мн=1, (7.30,а)

максимальне та нормоване максимальне значення для бокових пелюстків перідичної АКФ:

А_бп=-1, (7.30,б)

максимальне та нормоване максимальне значення для бокових пелюстків аперідичної АКФ:

А_ба - , (7.30,в)

Формування m-послідовностей приведено на рис. 7.19, причому в панелі 1 приведені дані (коефіцієнти формуючого полінома, які відповідають схемам, приведеним на рис. 7.15, а,г , та початкові дані) для формування двох (m1, m2) псевдовипадкових m-послідовностей . Далі в панелі 2 приведені отримані m-послідовності. Крім того, на рис.7.19,а приведені суміщені просторові дані про отримані m-послідовності, а на рис. 7.19.б,в – їх графічне зображення на площині

а) б) в)

Рис.7.19. m-послідовності (М=31), отримані на основі генераторів рис.7.15,а,г та їх представлення: (а) – суміщене; (б) – просторове; (в) - на площині

АКФ m-послідовностей (рис.7.19) приведено на рис 7.20

а) б) в)

Рис.7.20. Періодичні та неперіодичні АКФ m-послідовностей: (а) - просторові, утворенi генераторами (рис.7.15, а,г); (б) - утворені генератором (рис.7.15,а); (в) - утворені генератором (рис.7.15,г)

Видно, що для даної послідовності М=31, максимальне значення періодичної АКФ становить М, а мінімальне -1, тобто дана послідовність дійсно являється псевдовападковою m- послідовністю. Для неперіодичної АКФ максимальне значення становить М, а максимальне значення бокових пелюстків знаходиться в межах від -6 до 5 ( ≈5.5), що також відповідає відомим границям ( ≈5.5)

ВКФ двох псевдовипадкованих m-послідовностей. При розробці кодів розширення основною метою являється являється знаходження таких множин форм сигналів, які дозволяють значній кількості користувачів використовувати загальну смугу частот з найменшими взаємними завадами. Одним з найбільш важливих показників кодів розширення спектру, який визначає рівень взаємних завад, являється рівень ВКФ між кодами. ВКФ двох псевдовипадкованих m-послідовностей, як показано вище, представляють значний інтерес. Щодо m-послідовностей, то в загальному випадку відсутні аналітичні залежності для визначення рівня ВКФ. Лише для деяких пар m-послідовностей, так званих «бажаних» пар вибір яких запропоновано Голдом (для формування однойменних ПСП), відомі залежності для визначення ВКФ. При цьому ВКФ може приймати тільки три різні значення

а₁=- t(k),

a₂ =-1, (7.31)

a₃=t(k) -2

де t(k) = - для непарних k, t(n) = - для парних k.

Наприклад, при k=5, отримаємо t(k) =9 та а₁=-9, а₂=-1, а₃=7.

Розглянемо детальніше властивості ВКФ m- послідовностей для випадку k=5, тобто М=31. В даному випадку наявні (7.32) 6 формуючих поліномів, які можна представити у виді коефіцієнтів при наростаючих степенях х та у вигляді трьох груп А, В, С дзеркальних поліномів

(7.32)

Періодичну взаємну кореляційну функцію визначимо на прикладі двох m-послідовностей довжиною М=31 утворених дзеркальними формуючими поліномами (7.32), які входять в групу А. Дані про генеруючі поліноми та початкові значення для кожної з порівнюваних m-послідовностей приведені в панелі 1,1,а.

Рис. 7.21. Періодична ВКФ двох m- послідовностей при М=31, утворених дзеркальними формуючими поліномами

Для визначення періодичної ВКФ необхідно порівняти першу з порівнюваних послідовностей (m₁) з кожною копією другої з порівнюваних послідовностей (m₂), зсунутою на 0,1, 2 і т. д. символів. В панелі 1 приведено початкові значення (при зсуві на 0 симводів) порівнюваних послідовностей.

а)

б)

в)

Рис. 7.22. ВКФ m-послідовностей, утворених не дзеркальними формуючими поліномами: (а) - груп АВ; (б) - груп ВС; (в) - груп АС

Аналогічно в панелі 1,а приведено порівнювані послідовності при зсуві послідовності (m₂) на 1 символ вліво. Два значення періодичної ВКФ, отримані в результаті порівняння послідовності (m₁) з двома значеннями послідовності (m₂), які зсунуті на 0 та 1 символ, приведено в панелі 3, відповідно. Повне значення періодичної ВКФ, при зсуві послідовності (m₂) від 0 до 30 символів (далі процес періодично повторюється) приведено в панелі 5 та на графіку.

Видно, що отримана ВКФ містить значний рівень бокових пелюстків (від -9 до до 11), причому кількість різних рівнів становить 7. Якщо змінювати початкові значення для формуючого поліному послідовності m₁, то максимальні значення бокових пелюстків ВКФ не змінюються, а змінюється лише їх перерозподіл.

Визначимо (рис.7.22) періодичну ВКФ, сформовану двома не дзеркальними формуючими поліномами, які входять в різні групи.

Видно, що періодична ВКФ двох m-послідовностей, утворених не дзеркальними формуючими поліномами, містить 3 рівні, які відповідають залежностям ( 7.31 ).

З отриманих результатів можна зробити важливі висновки:

• «бажані» формуючі поліноми не можуть знаходитись серед дзеркальних поліномів;

• визначення ВКФ двох недзеркальних послідовностей , при наявності трьох значень ВКФ згідно (7.31) вказує на їх придатність для формування кодів Голда;

• проміжні значення порівняння співпадінь двох м-послідовностей, які зазвичай не зберігаються при визначенні ВКФ ( визначається лише сума яка і становить ВКФ ) фактично являються однією з послідовностей Голда;

• проміжні значення при визначенні повної ВКФ являються сукупністю всіх послідовностей Голда.

Нижче наведено приклад формування послідовностей Голда з використанням даного методу

Рис. 7.23. Формування кодів Голда на основі m- послідовностей

В панелі 1 представлені первинні m-послідовності на основі яких формуються коди Голда, причому дані послідовності також входять в множину кодів Голда. В панелі 1а приведена друга послідовність , яка зсунута на один символ відносно першої послідовності. В панелі 3 приведені дві послідовності Голда, отримані, як результат порівняння (визначення ВКФ) послідовностей, приведених в панелі 1 та 1а, відповідно.

Варто зауважити, що подібним чином можна сформувати послідовності Касамі.

Послідовності Касамі також формуються на основі М-послідовності. Алгоритм формування наступний. Вибирається двійкова М-послідовність а(k) довжини N=2ⁿ -1, де n- парне. Із послідовності а(k) методом децимації (прорідження) через 2 ^n/2+1 символів, починаючи із будь – якої фази формується нова періодична послідовністьb(k) із періодом L=2 ^n/2-1символів.

Ансамбль послідовностей Касамі с₁(k) об’ємом 2 ^n/2 ПВП формується додаванням по модулю 2 символів послідовностей а(k) довжини N=2ⁿ -1 і всіх послідовностей b₁(k), які періодично повторюються 2 ^n/2+1 разів кожна. До числа ПВП Касамі відноситься і вихідна М-послідовність а(k).

Періодичні АКФ і ВКФ послідовностей Касамі:

(7.33)

Для кожного m приймають одне із трьох можливих значень:

(7.34)