1.4.3. Ефективність окремих функціональних вузлів

В зв'язку з тим, що наявна велика кількість різних видів модуляції необхідні показники порівняння їх між собою з метою вибору необхідного виду модуляції для ефективних систем. В розділі 1.1 приведені часткові показники ефективності (1.5,а, б, в ): частотної, енергетичної та інформаційної. З метою можливості порівняння між собою різних видів модуляції введемо інтегральний показник ефективності модуляції Е_m та нормований (відносно максимального значення ( Е_m)_max ) показник (Е_m)_н :

при P_b= (P_b)_ном (1.7, a)

при P_b= (P_b)_ном (1.7, б)

Даний показник враховує те, що при P_b=const ефективним являється той вид модуляції , який вимагає меншого відношення сигнал/шум E_b/N_o, меншої смуги частот В та забезпечує при цьому більшу швидкість передавання R (тобто забезпечує більше відношення R/B). Характеристики, приведені на рис.1.11, використовують значення E_b/N_o в децибелах. Але для порівняння різних варіантів модуляцій необхідно використовувати лінійний масшаб для залежностей E_b/N_o (рис. 1.12 ).

а) б) в)

г) д) е)

Рис. 1.12. Характеристки енергетичної ефективності для ВPSK, MPSK модуляції: (а) - типові характеристики; (б) - формування узагальненої характеристики; (в) - узагальнена характеристика; г) - сімейство узагальнених характеристик; (д) – показник ефективності; (е) – показник ефективності, нормований відносно максимального значення

З приведених даних видно (рис.1.11, д), що найбільший показник ефективності Е_m (1.17) властивий для 4PSK (або QPSK) модуляції та становить Е_m≈0.2. Але для порівняння різних видів модуляції зручно використовувати нормоване (відносно максимального значення (E_m)_max=(E_m)_BPSK , в даному випадку відносно показника модуляції QPSK ) значення показника ефективності (Е_m)н (1.7,б). Як видно, (рис.1.12,е) при k=3 (Е_m)_н ≈ 60%, а при k=1 (Е_m)_н ≈ 50%. Для інших видів МPSK модуляції (при k≥4) показник ефективності різко зменшується. Причини такого зменшення показника ефективності також наглядно видно з узагальненої характеристики (рис.1.12,в)

Характеристики аналогічні приведеним на рис.1.11 та рис.1.12 широко застосовуються в наступних розділах роботи: як при аналізі різних видів модуляції, так і при аналізі інших функціональних вузлів систем безпровідного зв'язку.

4. Причини наявності обмежень для систем

Наявність вказаних протиріч базується на двох основних обмеженнях [30, 89 ], характерних для систем зв’язку:

згідно критерію Найквіста:

( 1.8,а)

згідно теореми Шенона-Хартлі:

(1.8,б)

де С=R_max –пропускна здатність системи, яка вказує максимальну швидкість R; S/N - відношення сигнал/шум .

Вказані обмеження являються фундаментальною основою побудови систем зв'язку. Розглянемо детальніше вказані обмеження.

1. Критерій Найквіста. Він вказує на те, яка мінімальна смуга частот необхідна для забезпечення в системі заданої швидкості передавання. Згідно залежності (1.8,а) можна визначити обмеження для частотної ефективності системи (1.5,а):

E_B = симв./с/Гц (1.9)

Як видно з залежності (1.9) максимальна частотна ефективність γ_max=2. На практиці мінімальна ширина смуги частот, згідно критерія Найквіста, внаслідок неідеальної фільтрації збільшується на 10-40% [ 33 ], тобто реальна нормована швидкість передавання зменшується з ідеальних 2 симв./с/Гц до 1.8-1.4 симв./сек/Гц.

Причини обмежень, згідно критерію Найквіста, спричинені взаємозв’язком сигналу в частотній та часовій областях. При використанні цифрового сигналу виникають певні протиріччя: якщо задати обмежену тривалість сигналу Т_s в часовій області, то його спектр стає необмеженим в частотній області. Також навпаки, якщо сигнал обмежений смугою B_s в частотній області, то він стає необмеженим в часовій області [98]. Справа в тому, що спектр цифрового сигналу з обмеженою тривалістю являється прямим перетворенням Фур’є (1.11,а) часової форми сигналу:

(1.10,а)

(1.10,б)

З іншої сторони часова форма сигналу (1.10,б) визначається через його спектральну характеристку, згідно оберненого перетворення Фур’є [157]. Протиріччя полягають в тому, що необхідно використовувати сигнали, які обмежені як за шириною спектру, так і за тривалістю.

Отже, обмеження спектру цифрового сигналу впливає не тільки на його енергетичні характеристики, що цілком очевидно, але також на інформацію, яка міститься в ньому. Наявний на вході частотно-селективного пристрою інформаційний сигнал, який представляє собою послідовність обмежених в часі імпульсів, на виході цього ж пристрою (внаслідок обмеження ширини його спектру) вже представляє собою послідовність необмежених в часі імпульсів, які можуть частково накладатись один на другого. Явище спотворення інформації при обмеженні спектру, яке полягає у взаємному впливі імпульсів цифрового сигналу, відоме як міжсимвольна інтерференція (ISI).

Розглянемо приклад міжсимвольної інтерференції при обмежені спектру сигналу зверху, тобто при проходженні сигналу через фільтр нижніх частот (ФНЧ). Нехай первинний цифровий сигнал (рис.1.13) представляє собою два імпульси, розділені коротким часовим інтервалом

а) б)

Рис.1.13. Проходження цифрового сигналу через ФНЧ

Варто зауважити, що крім традиційного представлення сигналів на площині як функції однієї змінної, на рис.1.13 сигнали представлені у вигляді більш загальної просторової залежності, як функції двох змінних. Таке представлення дозволяє на основі однієї загальної просторової залежності надати інформацію про вхідні та вихідні сигнали та наглядно вказати на взаємозв’язок між ними. Проекції перерізів просторової залежності (рис.1.13) на площину дозволяють отримати як окреме представлення вхідних та вихідних імпульсів, так і їх суміщене представлення, зручне для порівняльного аналізу. Тому, далі в даній роботі часто використовується замість представлення на площині часткових залежностей їх представлення у виді більш інформативної просторової залежності.

В зв'язку з обмеженням спектру зверху, на виході ФНЧ будуть відсутні високочастотні складові спектру. Відповідно на виході пристрою неможливо отримати круті та різкі фронти, тобто кожен імпульс значно розширюється в часі (рис.1.13) . Тому цілком можливо, що в даному випадку детектор приймача прийме рішення про наявність переданої послідовності 111 замість фактично переданої послідовності 101. Здавалось би, необхідно значно розширювати верхню смугу частот ФНЧ, для мінімального спотворення фронтів та забезпечення можливості правильного рішення. Але значне розширення смуги частот приводить до різкого погіршення ефективності системи, тому такий шлях являється практично безперспективним. Критерій Найквіста якраз і вказує на можливість усунення міжсимвольної інтерференції при мінімальному розширенні смуги частот.

Розглянемо детальніше цифрові сигнали з обмеженим спектром, які формуються на виході ФНЧ. При проходженні одиночного прямокутного імпульсу через вузькосмуговий фільтр з ідеальною прямокутною частотною характеристикою, сигнал на виході ФНЧ визначається інтегралом згортки сигналу та імпульсної характеристики ФНЧ [30]:

( 1.11)

де В– смуга пропускання ФНЧ; A_m – амплітуда імпульсу.

Якщо тривалість вхідного імпульсу досить мала (тривалість вхідного імпульсу T_s<<1/В), то результат інтегрування буде близький до результату дії δ-функції на ідеальний ФНЧ:

(1.12)

На рис.1.14 приведені дані про проходження цифрового сигналу через ФНЧ, отримані на основі залежності (1.12). З приведених даних видно, що важливою являється умова:

. ( 1.13)

При виконанні умови (1.13) видно (рис.1.14,б), що вихідний сигнал 1-го імпульсу рівний нулю посередині інших вхідних імпульсів, тобто не впливає на відчитані значення інших вхідних сигналів.

а) б )

в) г)

Рис.1.14. Проходження цифрового сигналу через ФНЧ: (а, б) - вхідні сигнали та вихідний сигнал 1-го імпульсу при В=1/2T_s; (в, г) - вхідні сигнали та вихідний сигнал 1-го імпульсу при В<1/2T_s.

Якщо ж смуга частот менша значення (1.13), то вихідний сигнал 1-го імпульсу (рис.1.14,г), має значний рівень посередині сусідніх імпульсів, що може привести до помилок при прийманні. Отже умова (1.13) вказує мінімальну смугу частот, необхідну для усунення міжсимвольної інтерференції при передаванні сигналу з швидкістю R

2. Теорема Шенона-Хартлі. Вона вказує на взаємозв’язок між відношенням сигнал/шум та іншими параметрами системи. З залежності (1.8,б) видно, що пропускна здатність каналу зв'язку з адитивним білим гаусовим шумом (АБГШ) являється функцією середньої потужності прийнятого сигналу S, середньої потужності шуму N та ширини смуги пропускання В. На рис. 1.15 приведена нормована пропускна здатність каналу, отримана на основі залежності (1.8,б). Теоретично (при використанні досить складної схеми кодування) інформацію можна передавати з довільною швидкістю R (R<C, де С – пропускна здатність системи), гарантуючи при цьому мале значення BER. Залежність (1.8,б) вказує, що величини B, S, N встановлюють границю швидкості передавання інформації

1. б)

Рис. 1.15. Залежність від відношення сигнал/шум: (а) - нормованої(C/B) пропускної здатності; (б) - нормованої (B/C) смуги пропускання

Але для зручності врахування умови (1.9,б) при синтезі ефективних систем безпровідного зв'язку доцільно здійснити перехід S/N → E_b/N_o. При цьому необхідно врахувати наступні залежності:

N=N_оВ. (1.14,а)

– при R=C. (1.14,б)

Підставивши в (1.8,б) значення (1.14,а,б) отримаємо:

, (1.15,а)

або (1.15,б)

На рис.1.16 приведено залежності, отримані на основі співвідношення (1.15,б). З приведених графіків видно, що існує нижня границя значення E_b/N_o, при якій неможливе безпомилкове передавання інформації. Як відомо [115] дана границя становить мінус 1.6 дБ.

Рис. 1.16. Залежність нормованої пропускної здатності (C/W) та нормованої смуги пропускання (W/C) каналу від відношення E_b/N_o

Таке найменше значення відношення E_b/N_o, нижче якого передавання інформації без помилок неможлива становить границю Шенона. Одночасно границя Шенона являється мінімально-можливим співвідношенням енергії одного біта до спектральної густини потужності АБГШ, якого можна досягнути при використанні завадозахисного кодування для забезпечення будь-якого малого значення BER.