Задача 2.17

Р адионуклид ¹²⁴Sb образуется с постоянной скоростью g = 1,0·10⁹ ядер в секунду. С периодом полураспада Т_1/2 = 60 сут он превращается в стабильный нуклид ¹²⁴Те. Найти:

а) через сколько времени после начала образования активность ¹²⁴Sb станет А = 3,7·10⁸ Бк.

б) какая масса нуклида ¹²⁴Те накопится в препарате за четыре месяца после начала его образования.

Решение

а) Умножая правую и левую части формулы (2.3) на постоянную распада λ нуклида ¹²⁴Sb, получим уравнение

,

(2.17.1)

из которого

.

б) Так как распад каждого атома нуклида ¹²⁴Sb сопровождается образованием атома стабильного нуклида ¹²⁴Те, то его масса за время t после начала образования нуклида ¹²⁴Sb будет равна:

m_Te(t) = М_ат(¹²⁴Те)·N(t),

где N(t) – количество ядер нуклида ¹²⁴Sb, распавшихся за время t. В свою очередь

,

если для вычисления A(t) использовать (2.17.1).

Окончательно получим

m_Te(t_б) = М_ат(¹²⁴Те)·

= 124·1,66·10^-24 [exp + -1]

.

Задача 2.18

Р адионуклид ¹³⁸Xe, который образуется с постоянной скоростью g= 1,0·10⁹ ядер в секунду, испытывает превращение по схеме

(под стрелками указаны периоды полураспада). Вычислить суммарную активность препарата через 60 мин после начала накопления.

Решение

Искомая активность

А(t) = А1(t) + А2(t) = А1(t) + λN2(t).

(2.18.1)

Зависимость А₁(t) активности нуклида ¹³⁸Xe выражается формулой (2.17.1). Для нахождения зависимости N₂(t) накопления ядер нуклида ¹³⁸Сs необходимо решить уравнение

,

где N₁(t) и N₂(t) выражают накопление ядер ¹³⁸Xe и ¹³⁸Сs, а N₁(t) вычисляется по формуле (2.3). Тогда

Решение этого уравнения, которое получается методом вариации постоянной (см. задачу 2.11), при N₂(t=0) = 0 имеет вид:

.

Подставив полученное решение и (2.17.1) в (2.18.1), получим окончательно

.

Вычисление величины А проделать самостоятельно (А = 1,4·10¹⁰ Бк).

α- и β-распады, γ-излучение ядер

Задача 2.19

П окоящиеся ядро ²¹³Ро испустило α-частицу с кинетической энергией Т_α = 8,34 МэВ. При этом дочернее ядро оказалось непосредственно в основном состоянии. Найти полную энергию Q_α, освобождаемую в этом процессе. Какую долю этой энергии составляет кинетическая энергия дочернего ядра? Какова скорость отдачи дочернего ядра.

Решение

1). Запишем схему α-распада ядра ²¹³Ро:

.

Так как освобождаемая энергия Е_α переходит в кинетическую энергию продуктов распада, то при распаде покоящегося ядра ²¹³Ро:

Qα = Тα + Тя.

(2.19.1)

Закон сохранения импульса:

,

или

,

(2.19.2)

поскольку исходное ядро покоится. Т.к. Т_α << М_α а, следовательно, и Т_я << М_я, то можно использовать классическую связь между кинетической энергией и импульсом:

.

В этом случае с помощью (2.19.2) получаем, что

.

(2.19.3)

Подставив (2.19.3) в (2.19.1) и решая полученное уравнение относительно Е_α, получим

.

(2.19.4)

2). Доля кинетической энергии Т_я ядра ²⁰⁹Pb от полной энергии Q_α, высвобождаемой при α-распаде ядра ²¹³Ро, составит

3). Скорость ядра отдачи

=

= 3,8·10⁵ м/с.