Задача 1.13

Определить с помощью формулы (1.4) заряд ядра, имеющего наименьшую массу среди ядер с одинаковым нечетным значением массового числа А. Предсказать с помощью полученной формулы характер активности (электронная или позитронная) следующих β-активных ядер: ¹⁰³Ag; ¹²⁷Sn и ¹⁴¹Cs.

Решение

Согласно формуле (1.12.1) ядрам с наибольшей энергией связи отвечает наименьшая масса. Поэтому для ядер изобаров (нуклидов с одинаковыми массовыми числами А) всегда имеется ядро с Z₀, имеющее наименьшую массу. Для нахождения Z₀ вычислим частную производную от (1.12.2) и результат приравняем нулю:

(1.13.1)

Подставив в (1.13.1) массу атома Н и массу нейтрона в а.е.м., и решая относительно Z₀, получим

.

(1.13.2)

Если для заданного нуклида (A,Z) расчет по формуле (1.13.2) дает Z₀ > Z, то для увеличения Z ядро должно испытывать β^--распад, если же Z₀ < Z, то β⁺-распад.

Ядро ¹⁰³Ag: Z =47, а

.

Следовательно, Z₀ < Z и ядро ¹⁰³Ag должно испытывать β⁺-распад.

Ядро ¹²⁷Sn: Z = 50, а

.

Следовательно, Z₀ > Z и ядро ¹²⁷Sn должно испытывать β^--распад.

Ядро ¹⁴¹Cs: Z = 55, а

.

Следовательно, Z₀ > Z и ядро ¹⁴¹Cs должно испытывать β^--распад.

Задача 1.14

Сколько компонент сверхтонкой структуры имеют в основном состоянии следующие атомы: ³H(²S_1/2); ⁶Li(²S_1/2); ⁹Be(¹S₀); ¹⁵N(⁴S_3/2) ³⁵Cl(²P_3/2). В скобках указан основной терм электронной оболочки.

Решение

Число N линий сверхтонкого расщепления оптических спектров будет равно (в соответствии с (1.5)) 2I + 1, если J ≥ I; или 2J + 1, если J < I. С помощью табл. 1 Приложений устанавливаем спины I ядер, а с помощью термов электронной оболочки – механические моменты J электронной оболочки соответствующего атома. Построим следующую таблицу, которая дает ответ на поставленные вопросы:

Нуклид	I	J	N
3H	1/2	1/2	2I + 1 = 2(1/2) + 1 = 2
6Li	1	1/2	2J + 1 = 2(1/2) + 1 = 2
9Be	3/2	0	2J = 1 = 2(0) +1 = 1
15N	1/2	3/2	2I + 1 = 2(1/2) + 1 = 2
35Cl	3/2	3/2	2I + 1 = 2(3/2) + 1 = 4

Задача 1.15

Определить спин ядра ⁵⁹Со, основной терм атома которого ⁴F_9/2 содержит восемь линий сверхтонкого расщепления.

Решение

Механический момент J атома ⁵⁹Со равен 9/2, как следует из приведенного терма. Значит (см. предыдущую задачу 1.14), если J < I, то число линий сверхтонкого расщепления должно быть равно 2J + 1 = 2(9/2) + 1 = 10. Поскольку имеем восемь линий, то заключаем, что J > I и 2I + 1 = 8, откуда I = 7/2.

Задача 1.16

Терм ²D_3/2 атома ²⁰⁹Bi имеет четыре линии сверхтонкого расщепления, причем отношение интервалов между соседними линиями равно 6 : 5 : 4. Найти с помощью правила интервалов спин ядра, а также число компонент сверхтонкого расщепления линии .

Решение

Е сли предположить, что J ≥ I, то 2I + 1=4, откуда I = 3/2, т.е. совпадает с J. Поэтому можно только утверждать, что I ≥ 3/2 и необходима дополнительная информация. Воспользуемся правилом интервалов (рис. 1.16.1). Интервалом называется расстояние между двумя соседними линиями сверхтонкого расщепления, выраженное в разности частот, или энергий. Согласно этому правилу (см. рис. 1.16.1)

(1.16.1)

Для I = J = 3/2 правило интервалов дает отношение

,

которое оказывается меньше, чем по условию задачи. Отсюда следует, что I > 3/2. Поэтому для определения спина ядра I нужно решить уравнение

,

из которого получаем I = 9/2.