Задача 3.4

Какую долю η кинетической энергии теряет нерелятивистская α-частица при упругом рассеянии под углом 60º в СЦИ на покоящимся ядре ¹²С.

Решение

П остроим векторную диаграмму импульсов. Отрезок АВ, изображающий импульс налетающей α-частицы, делим на 4 равных части, т.к. m_α : M(¹²С) = 1 : 3. От точки А отсчитываем одну часть и ставим точку О. Далее построения не отличаются от построений в предыдущей задачи.

Искомая доля будет равна

.

Из треугольника АОС, используя теорему косинусов, находим

АС² = 1 + 9 – 2·1·3·cos(π - ) = 1 + 9 + 3 = 13.

Тогда

.

Рекомендуется получить формулу для вычисления η.

Задача 3.5

Н айти энергию реакции ⁷Li(p, α)⁴He, если известно, что удельная энергия связи в ядрах ⁷Li и ⁴He равна соответственно 5,50 и 7,06 МэВ.

Решение

Согласно (3.2)

Q = M(⁷Li) + m_p- 2М(⁴Не).

Используя формулу для полной энергии связи ядра:

ΔW(A,Z)= Zm_p + (A –Z)m_n – M(A,Z),

получим, что

Q = 3m_p + 4m_n - ΔW(⁷Li) + m_p – 2(2m_p + 2m_n – ΔW(⁴He)) =

= 2·ΔW(⁴He) - ΔW(⁷Li) = 2·4· - 7· =

= 8·7,06 – 7·5,60 = 17,3 МэВ.

Задача 3.6

Получить формулу (3.6).

Решение

Из формулы (3.3) получаем выражение для вычисления энергии реакции:

Q = T2 –T1 =M1 – M2,

(3.6.1)

где Т₁ = T_а + T_А и М₁ = M_а + М_А, Т₂ = m_b + М_B и М₂ = m_b + М_B, – суммарные кинетические энергии и суммарные энергии покоя частиц до и после реакции, которое имеет место в любой инерциальной системе отсчета. Определим порог реакции как минимальное значение кинетической энергии (Т_а)_пор налетающей частицы а (частица А покоится!) в ЛСК, при которой кинетические энергии образовавшихся частиц b и В равна нулю в СЦИ. Для решения задачи удобно воспользоваться релятивистским инвариантом

Е² – Р²с² = inv,

который сохраняется для любой изолированной системы в любой инерциальной системе отсчета. Здесь Е = М +Т и Р – полная энергия и импульс произвольной системы тел, взаимодействующих только между собой. Инвариант системы до реакции при пороговой энергии (Т_а)_пор в ЛСК:

inv = [M1+ (Та)пор]2 - ,

(3.6.2)

но

+ M_а² = = [M_а + (Т_а)_пор]²,

откуда

= + 2M_а·(Т_а)_пор.

Подставляя полученное выражение в (3.2) и выполняя необходимые преобразования, получим:

inv = M12 + 2 Mа2·(Та)пор.

(3.6.3)

Инвариант для частиц с энергией покоя М₂, образовавшихся в результате эндоэнергетической реакции, в СЦИ будет равет:

inv = M22 ,

(3.6.4)

так как их кинетическая энергия в СЦИ при пороговой кинетической энергии (Т_а)_пор равна нулю.

Приравнивая инварианты (3.6.3) и (3.6.4), получим

(Та)пор= (M22 - M1)2/ 2MАс2= = (M2 - M12) (M1+ M2) / 2MА= = (M2 - M1) (M1+ M2 + M1 - M1)/ 2MА = = (M2 – M1) [2M1+ (M2 - M1)]/2MА = = |Q| + ,

(3.6.5)

так как согласно (3.6.1) (M₂ – M₁) = |Q|. Второе слагаемое в (3.6.5) при |Q| < 100 МэВ ничтожно мало по сравнению с первым, и поэтому

(Та)пор≈ |Q|.

(3.6.6)

Однако оно становиться значимым при расчете пороговой энергии ядерных реакций, приводящих к рождению барионов и гиперонов.

Решим эту же задачу, используя законы классической (не релятивистской) механики. Законы сохранения энергии и импульса при пороговом значении кинетической энергии налетающей в ЛСК частицы а:

(Та)пор = |Q|+ Т2;	(3.6.7)
Ра = Р2.	(3.6.8)

Т₂ и Р₂ определяют движение центра инерции образовавшихся частиц, так как их взаимная кинетическая энергия равна нулю при Т_а = (Т_а)_пор. Используем классическую связь между импульсом и кинетической энергией

,

(3.6.9)

так как полагаем, что зависимостью массы системы от скорости можно пренебречь и поэтому скорости движения частиц много меньше скорости света. Действительно, даже если кинетическая энергия (Т_а)_пор налетающей частицы а полностью переходит во внутреннюю энергию и изменяет массу системы, то

ΔМ = М₂ – М₁ ≤ (Т_а)_пор,

так как (Т_а)_пор << М₁, при энергиях налетающих частиц менее 100 МэВ. Поэтому, при кинематических расчетах в нерялитивистском случае можно считать, что

М2 = М1.

(3.6.10)

Тогда, из (3.6.1), (3.6.8) и (3.6.9) получаем

(Та)пор = |Q| +  (Та)пор =   ,

(3.6.11)

или, учитывая (3.6.10),

(Та)пор  =   .

(3.6.12)

Полученная формула (3.6.12) является приближенной и ее отличие от точной формулы (3.6.5) вызвано пренебрежением релятивистским изменением массы.