Задача 1.10

Показать, что для ядра сферической формы с однородной плотностью электрического заряда энергия кулоновского отталкивания протонов U_кул = 0,6kZ²e²/R, где Z и R – заряд и радиус ядра, k – коэффициент пропорциональности, определяемый системой единиц. В СИ k = 9∙10⁹ м/Ф, в СГС k = 1.

Решение

Однородная плотность электрического заряда ядра

.

(1.10.1)

Работа, совершаемая против сил электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой радиуса r с зарядом

, r ≤ R,

(1.10.2)

при перемещении заряда dq из бесконечности в точку r будет равна

dA = [φ(r) - φ∞]∙dq = φ(r) ∙dq,

(1.10.3)

при условии, что φ_∞= 0. В (1.10.3) φ(r) – потенциал электрического поля, создаваемый зарядом q(r) на поверхности сферы радиуса r,

,

(1.10.4)

если использовать выражение (1.10.2).

Дифференцируя (1.10.2) по r, получим изменение заряда сферы при добавлении заряда :

.

(1.10.5)

Подставив (1.10.4) и (1.10.5) в (1.10.3), получим

.

(1.10.6)

Поскольку совершаемая работа увеличивает потенциальную энергию ядра, то dA = dU. Поэтому

.

(1.10.7)

Задача 1.11

Считая, что разность энергий связи зеркальных ядер¹ и определяется только различием энергий кулоновского отталкивания протонов (см. формулу (1.10.7) в предыдущей задаче), вычислить их радиусы. Сравнить результаты с вычислением радиусов по формуле (1.1).

Решение

Разность энергий кулоновского отталкивания протонов в ядрах и согласно формуле (1.10.7) будет равна

.

(1.11.1)

В (1.11.1) принято, что в соответствии с (1.1) радиус ядра не зависит от Z и определяется только величиной массового числа А.

Из этого выражения находим, что

.

(1.11.2)

По условию задачи уменьшение энергии связи ядра относительно энергии связи ядра обусловлено большей энергией кулоновского отталкивания протонов в ядре при одинаковой энергии ядерного взаимодействия. Поэтому

ΔUкул= ΔW(23Na) - ΔW(23Mg).

(1.11.3)

Используя формулу (1.3) для ΔW(A,Z) вычислим ΔU_кул в (1.11.3):

ΔUкул= [Δn - ΔH + Δ(23Mg) - Δ(23Na)]·931,5 = = [ 0,008665 – 0,007825 – 0,005865 + 0,010227] ·931,5 = 4,85 МэВ

Подставляя полученное значение ΔU_кул= 4,85 МэВ в (1.1,1.2), определим величину R:

Расчет величины R (выполнить самостоятельно) по формуле (1.1) дает 4·10^-13см, что хорошо согласуется с найденной выше величиной радиуса ядра.

Задача 1.12

Вычислить с помощью полуэмпирической формулы (1.4): а) энергии связи ядер ⁴⁰Са и ¹⁰⁷Ag; б) энергии связи на один нуклон в ядрах ⁵⁰V и ²⁰⁰Hg; в) массы атомов ⁴⁵Sc и ⁷⁰Zn.

Решение

а) У ядра ⁴⁰Са Z =20, поэтому четвертый член в формуле (1.4) равен нулю, а пятый следует взять со знаком плюс. Тогда

Я дро ¹⁰⁷Ag имеет Z = 47. Пятый член в формуле (1.4) равен нулю.

Справочные значения искомых величин: 342,06 и 915,27 МэВ.

б) Этот пункт рекомендуется проделать самостоятельно.

Указание: для вычисления энергии связи на один нуклон в ядрах ⁵⁰V и ²⁰⁰Hg необходимо с помощью формулы (1.4) найти полную энергию связи этих ядер и разделить ее на соответствующее массовое число (см. формулу (1.5.1)). Должны быть получены следующие значения: 8,65 и 7,81 МэВ. Табличные значения: 8,70 и 7,91 МэВ.

в) Массы атомов выразим из формулы (1.2):

Mат(A,Z) = Z·mH + (A - Z)·mn – ΔW(A,Z).

(1.12.1)

Подставив в (1.12.1) энергию связи из формулы (1.4) получим рабочую формулу для нахождения масс атомов:

(1.12.2)

Вычисления масс атомов ⁴⁵Sc и ⁷⁰Zn по формуле (1.12.2) (проделать самостоятельно) дают следующие значения: 44,955 и 69,932 а.е.м. Справочные значения: 44,956 и 69,925 а.е.м.