2. Радиоактивные превращения ядер

Основной закон радиоактивного распада:

,

(2.1)

где: N(t) – ожидаемое количество радиоактивных ядер к моменту времени t; N₀ – число радиоактивных ядер в момент времени t = 0; λ – постоянная распада; τ – среднее время жизни радиоактивных ядер; Т_1/2 – их период полураспада.

Активность

,

(2.2)

где: N_d(t) – число ядер, которое должно распасться к моменту времени t; А₀ – активность в начальный момент времени t = 0. Остальные обозначения те же, что и формуле (2.1).

Закон накопления числа радиоактивных ядер при активации:

,

(2.3)

где g - среднее число радиоактивных ядер, образующихся в единицу времени (скорость активации).

Вековое равновесие:

,

(2.4)

если λ₂ >> λ₁ и t >> Т_1/2. Индекс «1» относится к материнским ядрам, индекс «2» - к дочерним.

Биномиальный закон распределения вероятностей (формула Бернулли) для радиоактивного распада

(2.5)

позволяет вычислить вероятность распада за время t точно n ядер, если в начальный момент времени их было N₀. Вероятности p(t) и q(t) (см. задачу 2.1) равны соответственно

р(t) =1 – e-λt,	(2.6)
q(t) = e-λt.	(2.7)

Распределение Пуассона:

,

(2.8)

где W(n) – вероятность совершения точно n случайных событий в течение некоторого промежутка времени; μ – математическое ожидание случайной величины. Распределение Пуассона можно использовать, если μ << N₀, где N₀ - возможное число случайных событий (генеральная совокупность, например, число радиоактивных ядер).

Дисперсия распределения Пуассона

D ≡ σ2 = μ,

(2.9)

или средняя квадратичная погрешность (отклонение)

σ = .

(2.10)

Распределение Гаусса или нормальное распределение:

,

(2.11)

где ε = |n - μ| - отклонение случайной величины n от математического ожидания случайной величины; σ – среднее квадратичное отклонение случайной величины n от математического ожидания μ.

Средняя квадратичная погрешность суммы или разности независимых случайных величин:

,

(2.12)

где σ_i – среднее квадратичное отклонение отдельной случайной величины n_i.

Погрешность функции f случайных аргументов х₁, х₂, … :

,

(2.13)

где - погрешность соответствующего аргумента.

Кулоновская функция U(r), выраженная в единицах МэВ, для частицы с зарядом z :

(2.14)

где Z_я – атомный номер дочернего ядра, а r выражено в см.

Формула для расчета высоты кулоновского барьера в точке r = R_я, если использовать формулу (1.1):

, МэВ.

(2.15)

Законы радиоактивного распада Задача 2.1

Найти вероятность распада радиоактивного ядра за промежуток времени t, если известна его постоянная распада λ.

Решение

П усть в момент времени t = 0 ядро достоверно существует. Тогда к моменту времени t = t´ (рис. 2.1.1) имеется две возможности:

1. Ядро не испытало радиоактивного распада и вероятность этого события q(t´);

2. Ядро распалось и вероятность этого события равна р(t´).

Очевидно, что

q(t´) + р(t´) = 1,

(2.1.1)

т.к. третьей возможности нет.

Рассмотрим, чему равна вероятность распада ядра за бесконечно малый промежуток времени dt´, не испытав при этом распада за время t´. Это событие сложное (см. рис. 2.1.1). Вероятность совместного появления обеих событий будет равна

dр = q(t´)λdt´,

(2.1.2)

где λdt´- вероятность распада за интервал времени dt´. Из (2.1.1) следует, что dp(t´) = - dq(t´). Произведя эту замену в (2.1.2), получаем дифференциальное уравнение для нахождения q(t´):

dq= - q(t´)λdt´.

(2.1.3)

Используя очевидное начальное условие q(t = 0) = 1 найдем, что вероятность ядру не распасться к заданному моменту времени

q(t) = e-λt,

(2.1.4)

а, в соответствии с (2.1.1), вероятность распада ядра за это же время составит

p(t) = 1 - e-λt.

(2.1.5)

Если в момент времени t = 0 имелось N₀ радиоактивных ядер, то к моменту времени t наиболее вероятное (ожидаемое) число радиоактивных ядер, не испытавших радиоактивный распад, должно быть равным

N(t) = N0q(t) = N0e-λt,

что совпадает с (2.1). Реальное же число оставшихся ядер будет отличаться от N(t) в большую или меньшую сторону из-за случайного характера радиоактивного распада.