11. Методыка вывучэння лікавых мностваў у школьным курсе матэматыкі

Изучение числовых систем.

(1 – 4 кл): интуитивное понятие о натуральных числах и обыкновенных дробях, изучается преход от N₀  Q⁺

5-6 кл: от натур. к рацион. полож. и рац.отриц.

7-9кл: обобщающие и систематизир знания о числах R, Q и все действия с ними

10-11кл: расширяется понятие числа на факультативах.

По существу изучение числовых систем в школе носит концентрический характер. Эта схеме во многом отражает также и исторический путь развития понятия числа, который проходил по схеме NQ⁺QR.

Логическая же схема развития понятия числа принятая в современной математике имеет вид: NZQR.

Логическая схема отличается от исторической ранним введением отрицательных чисел. Т.о. из схемы видно, что изучение действительных чисел завершается в 8 кл.

Строгое построение теории действительных чисел в средней школе не осуществляется. В математике же, как науке существует три подхода построения числовых систем: аксиоматический, конструктивный, операторный. В школьном курсе присутствуют элементы двух первых подходов.

Каждое из множеств Z,Q,R явл. расширением предыдущего.

Множество У – наз. расширением множества Х, если выполняются следующие условия:

1. Множество Х собственное подмножество множества У.

2. Все операции и отношения множества Х определены и для У. При этом смысл их для множества У совпадает с тем смыслом, котор. они имеют до расширения.

3. В У выполняется операция, которая в Х не выполнялась или не вусегда выполнялась. В этом смысл расширения.

4. У является наименьшим расширением из всех возможных, удовлетвор. требованиям a,b,c.

Способы построения множества У

1)уже известное мно-во А дополняется некоторым другим до мн-ва В. (Q⁺объединение Q^-=Q)

2)имея численное мн-во А мы конструируем мн-во В независимо от А. затем в новом мн-ве мы выделяем некоторое подмн-во, идентичное А. пример. Иррациональные числа

Множество считается построенным если определены:

1. Элементы множества

2. Понятие равенства

3. Условия сравнения

4. Понятие суммы и произведения и кроме того необходимо чтобы новые числа подчинялись всем законам арифметических действий установленных для изученных ранее чисел.

Общая схема методики введения и изучения новых чисел

1)обоснование и необходимость введения новых чисел; 2)непосредственное введение новых чисел; 3)упорядочение нового числового мн-ва, определение понятий равенства и неравенства в нем; 4)изучение операций сложения, вычитания, умножения и деления; 5)изучение свойств арифметических действий; 6)изучение структуры нового числового мн-ва.

!!!! любое число нового мн-ва должно изображаться на координатной прямой.

Отрицательные числа. 6 класс (латотин, тема 3, рац.числа, 75 ч)

Первая методическая задача, возникающая при введении отрицат. чисел состоит в том, чтобы убедить учащихся в необходимости введения этих чисел. В разных учебных пособиях это делается по – разному. Вначале знакомят учащихся с понятием направление, для этого приводят примеры с железной дорогой. Затем понятие направления связывают с координатной прямой. Например, такой переход осуществляется следующим образом: возьмем вместо железн. пути прямую, вместо ж/д станции некоторую фиксированную точку прямой, вместо тепловоза – некоторую произвольную точку прямой. В результате учащиеся будут подготовлены к восприятию понятия – координатная прямая, учителю лишь останется ввести термины: начало отсчета, положит. и отриц. направления прямой и далее заключить: числа на отрицательном направлении прямой счит. отрицательными и обознач. Так -1, -1/4 , а на положит. направлении прямой – положит. и обознач. +1, +2, или 1, 2 .

Важно чтобы учащиеся осознали, не только необход. введения новых чисел, но и правильно соотносили их с реальной действительностью. Этому служат такие упражнения: приведенные ниже предложения записать короче, используя знаки “+” и “-“:

1. температура в полночь была 4 ниже нуля, а в полдень – 10 выше нуля

2. стрелка прибора отклонилась от нулевой отметки на 4,5 деления вправо, на 2,5 деления влево.

Полезны задания и на обратный перевод с математического языка на естественный: кладовщик овощного склада сделал записи: Совхоз “Рассвет” +235т, столовая – 2,5, овощной магазин – 6т. Как следует понимать эти записи?

Действия над положительными и отрицательными числами (методика) в настоящее время по учебнику Латотина и Чеботаревского изучается по координатной прямой.

Пути введения отрицательных чисел.

С методической точки зрение введение не сложное. Нужно измерять величины, значения которых распространяются в двух взаимнопротивополжных направлениях.

Два пути истолкования отрицательных чисел:

1. формально логический. Этот путь связан с внутренними потребностями математики, т.е. необходимость действий вычитания во всех случаях. Этот путь близок к аксиоматическому построению числового множества.

2. реально-конкретный. Этот путь исходит из непосредственной связи с реальной действительностью отрицательных чисел.

Мотивировка введения отрицательных чисел должна быть:

1. алгебраической (действия вычитания должны выполняться во всех случаях)

2. геометрической (соответствие между точкой прямой и числами)

3. практическая (характеристика величины меняющейся в двух взаимнопротивоположных направлениях).

Определение отрицательных чисел. Определения нету, есть описание, которое дается после рассмотрения многочисленных примеров.

Действия над отрицательными числами.

Понятие суммы двух отрицательных чисел, положит. и отриц. и т.д. вводится конкретно – индуктивным методом, т.е. рассматриваются многочисленные примеры, затем дается правило: чтобы сложить два отрицательных числа надо сложить их модули, пред суммой поставить знак минус. Все опирается на координатную прямую, особое внимание уделяется модулю числа.

Вычитание отрицательных чисел. Вычитание заменяется сложением для этого используется координатная прямая (чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому).