27. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве.

10 кл. Две прямые называются взаимно перпендикулярными, если угол между ними равен 90. Если прямая перпендикулярна прямой , то пишут .

Прямая, пересекающая плоскость, наз. перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости. .

Т1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.

Т2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то другая прямая перпендикулярна этой плоскости

Т3. Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.

Т4. (признак перпенд. прямой и пл.). если прямая двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она этой плоскости.

Т5. Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Т6. Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.

Т7. (о св-ве диагонали прямоугольного параллелепипеда). Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину.

Две плоскости наз. Перпендик-ыми, если угол между ними равен 90.

Т.(признак плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. (с док-ством).

Т2. Прямая, проведенная в одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендиклярно прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости. (с док-ством).

Двугранным углом наз. фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой и частью пространства, для которой эти полуплоскости служат границей. Полуплоскости наз. гранями двугранного угла, общая граничная прямая – ребром.

Линейным углом двугранного угла наз. угол, сторонами кот. Являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его ранях перпендикулярно ребру.

Градусной мерой двугранного ∠ наз. градусная мера его линейного ∠.

Т.(признак плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. (с док-ством).

Т2. Прямая, проведенная в одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендиклярно прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости. (с док-ством).

28. Методыка навучання школьнікаў знаходжанню вуглоў і адлегласцей у прасторы.

1. Углом между скрещивающимися прямыми а и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми а₁ и b₁, где а₁ и b₁ параллельные а и b соответственно. Для нахождения угла между двумя данными скрещивающимися прямыми а и b можно взять на одной из них, например на прямой а, некоторую точку О и в плоскости, определяемой прямой b и точкой О, провести прямую b₁, параллельную прямой b. Тогда угол между прямыми а и b₁, равен углу между скрещивающимися прямыми а и b.

2. Для нахождения угла между пересекающимися плоскостями α и β выбирают какую-нибудь точку С, принадлежащую линии с их пересечения, и восстанавливают перпендикуляры a и b к линии c, лежащие в плоскостях α и β соответственно. Угол между прямыми a и b будет искомым углом между плоскостями α и β. Если линия пересечения плоскостей α и β, указанных в задаче, не дана или находится вне данного рисунка, то для нахождения угла между плоскостями α и β выбирают какие-нибудь плоскости α’ и β’ соответственно параллельные α и β, линия пересечения которых расположена на рисунке. При этом одна из плоскостей α’ и β’ может совпадать соответственно с α или β. После этого находят угол между плоскостями α’ и β’.

1. Расстоянием от точки до плоскости наз. длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.

Расстоянием между параллельными плоскостями наз. расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.

Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью наз. расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми наз. расстояние от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую и параллельной первой прямой.

Алгоритм построения расстояния между скрещивающимися прямыми:

1. Если есть две прямые a и b, нужно построить пл.α, такую что

KO – искомое расстояние

ОO

K

a

b

α

2. Прямые расположены след. образом:

a

- построить α, такую что

- построить проекцию

b

- KO , KO – искомое расстояние.

О