α

K

29. Методыка вывучэння мнагаграннікаў у курсе геаметрыі сярэдняй школы. Аб’емы і плошчы паверхняў мнагаграннікаў.

11 кл. Многогранник – геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два смежные из которых не лежат в одной плоскости; сами многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами многогранника, а их вершины – вершинами многогранника.

Геометрическим телом наз. ограниченная фигура в пространстве, обладающая следующими св-ами:

1. У нее есть внутренние точки, и любые две из них можно соединить ломаной, каждая точка которой является внутренней точкой фигуры.

2. Фигура содержит свою границу, и е граница совпадает с границей внутренности.

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от каждой из плоскостей, содержащих его грани.

Призма (n-угольная) – это многогранник, у которого две грани – равные n-угольники (называемые основаниями), а остальные n граней – параллелограммы, у каждого из которых две стороны явл. соответственными сторонами оснований. Эти остальные параллелограммы – боковые грани призмы, а их стороны, не явл. сторонами оснований призмы, наз. боковыми ребрами призмы.

Фигура образованная всеми гранями призмы, наз. полной поверхностью призмы, а фигура, образованная бок. гранями, - боковой поверхностью призмы.

Т1 (о св-ве оснований призмы). Основания призмы лежат в параллельных плоскостях.(с док-ством)

Высотой призмы наз. перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания.

Прямая призма – это такая призма, у которой боковые грани – прямоугольники.

Призма, не явл. прямой призмой, наз. наклонной.

Т2 (о св-ве боковых ребер прямой призмы). Боковые ребра прямой призмы перпендикулярны плоскостям, в которых лежат ее основания.(с док-ом) Из теоремы следует, что высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

У наклонной призмы бок. ребра не перпендикулярны основаниям

Правильная n-угольная призма – это призма, у которой все боковые грани – прямоугольники, а ее основания – правильные n-угольники.

Диагональю призмы наз. отрезок, концами кот. Служат вершины призмы, не лежащие в одной грани.

Диагональным сечением призмы наз. ее сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, кот. не лежат в одной грани.

Если секущая плоскость пересекает все боковые ребра призмы и перпендикулярна им, то получающееся при этом сечение наз. ортогональным сечением призмы.

Параллелепипед – это призма, основаниями кот. являются параллелограммы.

2 грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, наз. противолежащими, а имеющие общее ребро, - смежными.

2 вершины, не принадлежащие одной грани, наз. противолежащими. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины, наз. диагональю параллелепипеда.

Параллелепипед, все бок. грани кот. – прямоугольники, наз. прямым.

Если параллелепипед не явл. прямым, то он наз. наклонным.

Параллелепипед наз. прямоугольным, если все его грани – прямоугольники.

Длины трех ребер, выходящих из одной вершины, наз. измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Свойства параллелепипеда:

1. Противолежащие грани параллелепипеда равны и лежат в параллельных плоскостях.

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Боковые ребра прямого параллелепипеда перпендикулярны плоскостям его оснований.

Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Методика изучения объёмов многогранников в курсе средней школы. Объемы многогранников изучаются в 11 кл. в отдельной главе. Понятие объема вводится аналогично понятию площади через систему св-в.

Объем – это положительная величина, определенная для каждого из рассматриваемых тел, числовое значение которой имеет св-ва:

1. Равные геометрические тела имеют равные объемы;

2. Если геометрическое тело есть объединение тел, не имеющих общих внутренних точек, то его объем равен сумме объемов тел, его составляющих;

3. Объем куба, ребро которого равно 1 измерения длины, равен 1.

Каждый многогранник имеет объем, который измеряется с помощью выбранной единицы объема.

Т. (об объеме прямоугольного параллелепипеда). Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, т.е. . (с док-ом).

Следствие. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.

Т. (об объеме прямого параллелепипеда). Объем прямого параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту. (с док-ом).

Т. (об объеме наклонного параллелепипеда). Объем наклонного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту параллелепипеда. (с док-ом).

Т. (об объеме призмы). Объем призмы равен произведению площади основания на высоту. (с док-ом).

Следствие. Объем прямой призмы равен произведению площади основания на длину бокового ребра.

Т. Две треугольные пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы. (с док-ом).

Т. (об объеме пирамиды). Объем любой треугольной пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту. (с док-ом).

Т. (об объеме n-угольной пирамиды). Объем n-угольной пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту. (с док-ом).

Методика изучения площадей поверхностей многогранников в курсе средней школы.

Площади поверхностей многогранников изучаются в 11 кл. по мере изучения многогранников.

Граница тела наз. его поверхностью.

Площадью бок. поверхности призмы наз. сумма площадей ее боковых граней, . Площадью полной поверхности призмы наз. сумма всех ее граней,

.

Т.(о площади бок. поверхности прямой призмы). Площадь бок. поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту. (с док-ом).

Площадь бок. поверхности наклонной призмы равна произведению периметра ортогонального сечения на длину ее бокового ребра.(дается в виде задачи с док-ом).

Площадью бок. поверхности пирамиды наз. сумма площадей ее боковых граней, . Площадью полной поверхности пирамиды наз. сумма всех ее граней,

.

Т. Площадь бок. поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. (с док-ом).

Площадью бок. поверхности усеченной пирамиды наз. сумма площадей ее боковых граней, .

30. Методыка вывучэння цел вярчэння. Аб’емы і плошчы паверхняў цел вярчэння.

         Обычно теоретический материал раздела о телах вращения по объему бывает невелик. Однако тут вводится много новых понятий, способы их введения, методы изучения тоже весьма различны.

         При изучении фигур вращения очень велико значение чертежа. Чертеж является основным средством иллюстрации, развития пространственного воображения. При этом необходимо помнить, что чертеж, который появляется на доске постепенно и сопровождается комментариями учителя, имеет большую педагогическую ценность. Учитель должен показать учащимся, не вдаваясь в подробности, как изобразить на плоскости фигуру вращения, то или иное её сечение. Для изображения каждого из изучаемых в школе тел вращения, их отдельных элементов, сечений необходимо напомнить учащимся об изображении окружности (учащиеся знакомы с этим из курса черчения).

         В ходе решения некоторых задач возникает необходимость в решении планиметрической задачи. На примере нескольких, специально подобранных задач учитель убеждает в целесообразности изображения в ряде случаев не всей фигуры вращения, а лишь её осевого сечения. В других случаях планиметрический чертеж будет дополнять изображение тела вращения. В школе изучаются конус, цилиндр, шар(сфера).

Весь круг вопросов по теме «Тела вращения» можно условно разделить на две группы:

1)    Цилиндр и конус: a)     Определение, поверхность, симметрия, касательная плоскость, сечение осевое и перпендикулярное оси, вписанные и описанные многогранники; b)    Объем; c)     Площадь боковой поверхности.

2)    Шар и сфера: a)     Определение, симметрия, сечение, касательная плоскость; b)    Объем шара; c)     Площадь сферы.

При планировании следует учитывать, что цилиндр и конус изучаются по единому плану и общий подход при рассмотрении основных понятий один о тот же. Подчеркивая общее и выявляя различия в свойствах цилиндра и конуса, учитель добивается осознанного усвоения материала учащимися.

Обычно цилиндр, конус, шар и сфера изучаются в курсе стереометрии после многогранников. При этом такие понятия, как «тело», «поверхность», «ограниченность» и т.п., вводится в теме «Многогранники».

Если цилиндр и конус изучаются по единой схеме, то шар (сфера) занимает особое место среди тел вращения. Именно при изучении шара и его поверхности наиболее полно используются знания учащихся о круге и окружности, полученные из курса планиметрии и других школьных дисциплин. В связи с этим основная роль учителя состоит в такой организации учебного процесса, когда ученики сами формулируют необходимые утверждения.

 В отличие от понятий цилиндра и конуса понятия шара и сферы трактуются как пространственные аналоги круга и окружности. Шар определяется как тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Сфера вводится как поверхность шара.

Объемы тел вращения изучаются в 11 кл. по мере изучения тел за исключением шара (выносится в отдельный параграф).

За объем цилиндра принимается число, к которому стремится объем правильной призмы, вписанной в цилиндр, когда число сторон ее основания неограниченно возрастает.

Т.(об объеме цилиндра). Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.( )

За объем конуса принимается число, к которому стремится объем правильной пирамиды, вписанной в конус, когда число сторон ее основания неограниченно возрастает.

Т.(об объеме конуса). Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.( )

Т. (об объеме шара). Объем шара c радиусом R вычисляется по формуле

Площади поверхностей тел вращения изучаются в 11 кл. по мере изучения тел за исключением сферы (выносится в отдельный параграф).

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается число, к которому стремится площадь боковой поверхности правильной призмы, вписанной в цилиндр, когда число сторон оснований этой призмы неограниченно возрастает.

Т.(о площади бок. поверхности цилиндра). Площадь бок. поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту ( ).(с док-ом)

Площадью полной поверхности цилиндра наз. сумма площадей бок. поверхности и двух оснований цилиндра. .

Если бок. поверхность цилиндра «разрезать» по образующей и развернуть так, чтобы все образующие оказались в одной плоскости, то получим прямоугольник, который наз. разверткой бок. поверхности цилиндра.

Площадь развертки=площади бок. поверхности.

За площадь боковой поверхности конуса принимается число, к которому стремится площадь боковой поверхности, вписанной в конус правильной n-угольной пирамиды, когда число сторон основания пирамиды неограниченно возрастает.

Т.(о площади бок. поверхности конуса). Площадь бок. поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую ( ).(с док-ом)

Площадью полной поверхности конуса наз. сумма площадей бок. поверхности и основания цилиндра. .

Если бок. поверхность конуса «разрезать» по образующей и развернуть так, чтобы все образующие оказались в одной плоскости, то получим круговой сектор, который наз. разверткой бок. поверхности конуса.

Площадь развертки=площади бок. поверхности.

В виде задачи дается формула для площади бок. поверхности усеченного конуса: .

Площадью полной поверхности усеченного конуса наз. сумма площадей его бок. поверхности и площадей основания .

Т.(о площади сферы). Площадь сферы равна .

За площадь части сферы, образованной поворотом какой-нибудь дуги полуокружности вокруг диаметра на 360, принимается число, к которому стремится площадь поверхности, образуемой поворотом вокруг того же диаметра правильной вписанной ломаной, когда ее звенья неограниченно уменьшаются.

Для док-ства т. О площади сферы используется следующая теорема:

Т. Пусть секущая плоскость перпендикулярна диаметру сферы радиуса R. Тогда площадь каждой из частей, на которые сфера разбивается секущей плоскостью, равна произведению длины большей окружности данной сферы на длину H соответствующего отрезка диаметра: .