18. Методыка вывучэння паказальнай і лагарыфмічнай функцый

Изучение показательных и логарифмических функций начинается в 11 классе в теме «Показательная и логарифмическая функция»

Изучение данной темы начинается со знакомства учащихся с понятием степени с действительным показателем.

Опр.: Пусть a>0. Степенью числа a с иррациональным показателем s называется такое число b, что a^r<b<a^t при любых рациональных значениях r и t, удовлетворяющих неравенству r<s<t. Это число b обозначается a^s.

Опр.: Пусть 0<a<1. Степенью числа a с иррациональным показателем s называется такое число b, что a^t<b<a^r при любых рациональных значениях r и t, удовлетворяющих неравенству r<s<t. Это число b обозначается a^s.

Затем формируется определение показательной функции: функция, заданная формулой y=a^x ( , ), называется показательной функцией с основанием a, и формулируемые основные свойства: D(a^x)=R; E(a^x)=(0;+∞); не имеет наибольшего и наименьшего значения; пересекает ось ординат в точке (0;1), и не пересекает ось абсцисс; показательная ф-я не имеет нулей; a^x возрастает при a>1 и a^x убывает при 0<a<1; не является ни четной, ни нечетной; не является периодической. Т.о. показательная функция есть систематизация, обобщение и расширение знаний учащихся о свойствах степени. Далее все свойства рассматриваются на графике показательной функции.

Изучение логарифмической функции начинается с выделения определения: функцию, заданную формулой называют логарифмической функцией, где a – постоянная, a>0, a≠1. Основные свойства выводится из свойств показательной функции:

1. , 2. ,

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a>1) или убывает (при 0<a<1).

4. не имеет ни наибольшего ни наименьшего значения

5. пересекает ось абсцисс в точке (1;0), и не пересекает ось ординат

6. х=1, ноль логарифмической функции.

7. не является ни четной ни нечетной.

8. не является периодической.

Покажем, что при a>1 возрастает. Пусть и , надо доказать, что: . Допустим противное, т.е. что . Т.к. показательная функция при a>1 возрастает, то из неравенства следует: , что противоречит выбору . Следовательно: и функция при a>1 – возрастает.

Т.к. при a>1 функция возрастает, то логарифмическая функция положительна при x>1 и отрицательна для 0<x<1 (для основания 0<a<1 – наоборот). На основании рассмотренных свойств строится график этой функции.

19. Методыка вывучэння вытворнай. Прымяненне вытворнай ў школьным курсе матэматыкі

На тему производная отводится 23 часа.

Подходы для введения производной: 1)логический (производная опр-тся через пределы ф-ции в точке. 2)исторический (производная опр-лась без использования понятия предела, поскольку в математике сначала сформированы понятия производной и интеграла, а позднее как обобщение этих понятий.

Методика введения понятия производной в СШ

Для рассмотрения данной темы необходимо знать следующие понятия: понятие ф-ции и ее св-ва, угловой коэффициент прямой, прирощение аргумента и прирощение ф-ции.

По учебнику Кузнецовой вначале предлагается теоритический обзор св-в ф-ции, определение ф-ции, область определения и область значения, график, промежутки возрастания и убывания.

Если прямая y=kx+b проходит через точку (х0,у0), то координаты этой точки удовл ур-нию y-y0=k(x-x0). Тогда коэффициент наклона прямой k равен (y-y0)/(x-x0).далее вводится понятие прирощения аргумента и прирощение ф-ции: каждому числу дельта х ставится в соответствие дельта у.

Алгоритм

1)дельта у(х), 2)дельта у / дельта х, 3)число, к которому стремится отношение дельта у / дельта х, когда дельта х стремится к нулю.

Нахождение производной в точке, наз дифференцированием.

Применение производной функции

Анализ формулировки определения производной: 1)число, 2)к которому стремится Δу/Δх, 3) при Δх→0.

Механический смысл производной: V(to)=S’(to).

Геометрический смысл производной: tg a= Δу/Δх= f’(xo).

Структура учебного материала

1)теорема о вычислении производных f’(xo)=0.

2)признаки возрастания и убывания ф-ции: f’(x)>0 – ф-ция возрастает, f’(x)<0 – ф-ция убывает.

3)точки экстремума(max,min). Необходимое условие – сущ производная в точке х0 равную 0. Достаточное условие – производная должна менять знак при переходе через х0.

4)наибольшее и наименьшее значение ф-ции на отрезке

5) наибольшее и наименьшее значение ф-ции на интервале

6)задачи на оптимизацию.

  Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен.   Таким образом, , или

Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.

  Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x₂) > f(x₁) при x₂ > x₁.

     Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если f(x₂) < f(x₁) при x₂ > x₁.