5. Методика формирования у школьников математический понятий

Математическое понятие – отражение в мышлении отличительных свойств форм и количественных отношений действительного мира.

Объем – множество объектов, к которым применимо данное понятие. Между содержанием и объемом понятий существует обратная зависимость: если увеличить содержание понятий, то уменьшится его объем, и наоборот.

Содержание понятия – это множество всех существенных признаков данного понятия.

Зависимость между содержанием и объемом понятия

Понятие	Объем	Содержание
Треугольник	Множество всевозможных треугольников	Наличие трех точек, не лежащих на одной прямой и наличие трех отрезков, соедин. их
Уравнение	Множество всевозможных уравнений	Наличие одной или нескольких переменных в равенстве
Параллелограмм	Множество всевозможных параллелограммов	Наличие четырех точек, не лежащих на одной прямой и наличие четырех отрезков, соедин. их
плоский четырех – угольник	произвольный четырехугольник: трапеция, квадрат, ромб, параллелограмм	наличие 4 – х сторон 4 – х вершин 4 – х углов
	трапеция, квадрат, ромб, параллелограмм	две противоположные стороны параллельны
	квадрат, ромб, параллелограмм	противоположные стороны попарно параллельны

Классификация понятий - последовательное многоступенчатое разделение множества объектов на классы с помощью некоторого свойства.

Требования: классификации считается правильной, если:

1.признак, по которому проводится классификация остается неизменным в процессе классификации; 2.понятия, получаемые в классификации – взаимно независимые; 3.сумма объемов понятий, получаемых при классификации, равна объему исходного понятия; 4.в процессе классификации осуществляется переход к ближайшему в родовом понятии виду.

Виды классификаций:

• дихотомическая (трихотомическая), где осуществляется многоступенчатое разбиение на два (три) противоречащих понятия;

• иерархическая, где каждый член является соподчиненным понятием;

• последовательная, где классификация проводится по нескольким основаниям.

Способы образования математических понятий:

1)через абстракцию отождествления (возникновение натуральных чисел),

2)через абстракцию идеализации (не только выделение общих свойств, но и наделение их идеальными свойствами, пример, понятие производной)

3)через абстракцию потенциальной бесконечности (плоскость, прямая),

4)через абстракцию актуальной бесконечности (отрезок в отрезке).

Виды понятий: определяемые и неопределяемые.

Неопределяемые (точка, прямая).

Определяемые понятия (явные, неявные).

Способы определений (виды определений)

1)Дескриптивные (описательные):

Вид задания через:

-через указание ближайшего рода или видового отличия (ромб – параллелограмм, у которого…)

-через абстракцию (точка – острие карандаша, линия – нить)

-через отрицание (скрещивающиеся прямые – прямые, которые не пересекаются)

2)Конструктивные (построительные или генетические).2.генетические – через указание происхождения понятия

-через указание способа построения данного понятия (окружность – множество точек, равноудаленных от одной точки на одинаковое расстояние)

-через пересечение (целые числа = натуральные + им отриц + 0)

-в виде формул (линейная функция )

-индуктивно (прогрессия)

-интуитивно

-через пояснение (определение преобразований в школьном курсе )

-через аксиомы.

Этапы формирования математических понятий:

1. этап восприятия понятия

2. этап представления понятия

3. этап определения понятия

4. этап овладения определением понятия

5. этап оперирования понятием

Типичные ошибки и их предупреждение:

1)определение не должно содержать незнакомых понятий;

2)определения должны быть равносильны;

3)определяющее и определяемое понятия должны быть суразмерными, т.е. совокупности охватываемых ими понятий должны совпадать;

4)определения не должны содержать в себе порочного круга (определение понятий само через себя, тавтология);

5)в определении не должны указываться лишние свойства (определение не должно содержать ничего лишнего);

6)в определениях не должны указываться все существенные свойства, признаки, позволяющие выделить объекты, принадлежащие определённому понятию;

7)определения желательно давать через ближайший род(однако это требование не всегда соблюдается в учебниках);

8)необходимо, чтобы определяемый объект существовал.

Методы введения понятий

1)Самостоятельное открытие учеником опр-ния (через решение задач – построить равносторонний треугольник)

2)Конкретно-индуктивный (через рассмотрение отдельных примеров переходим к обобщению)

3)Абстрактно-дедуктивный (через известные понятия)

При формировании понятий целесообразно учитывать данную психологию. Рассмотрим теорию поэтапного формирования умственных действий (Гальперин). Согласно этой теории рассматривается постепенный перевод внешних материализованных действий во внутренние, умственные.

Этапы:

1. Учащимся разъясняют цель введения нового понятия и указывают ориентировку, например, с помощью рисунка.

2. Учащиеся сами формулируют определение, исходя из рисунка, проговаривается определение.

3. Учащиеся сами формулируют определение, проговаривается определение без опоры на рисунок.

4. Проговаривается в форме внешней речи про себя.

5. В форме внутренней речи.