4. Методы научного познания в изучении математики

1)Математические (метод статистической обработки знаний, метод моделирования, аксиоматический метод);

2)Эмперические (наблюдение, описание, измерение, эксперимент);

3)Логические (индукция и дедукция, анализ и синтез, сравнение и аналогия, обобщение, абстрагирование, конкретизация).

Математическое моделирование и аксиоматический

Пользуясь математическими методами, строят определенную схему, которая дает представление об изучаемом явлении или процессе. Аксиоматический метод заключается в дедуктивным преподавании теории: сначала формулируются основные (неопределённые) понятия и аксиомы; далее новые положения выводятся из предыдущих. В школе аксиоматический метод используют в преподавании геометрии.

Эмпирические методы научного познания

Эмпирические методы познания преимущественно используются в 1 - 6 кл. в соответствии с возрастными возможностями школьников. Например: наблюдая за окрестностями школьники могут продемонстрировать модели параллельных отрезков; измерив стороны треугольника, могут сделать вывод, что сумма двух сторон больше третьей. В средних и старших классах роль этих методов уменьшается, но исключать их из обучения тоже нельзя. Эти методы могут быть эффективными при изучении функций и их свойств и при изучении геометрии (особенно при решении задач, связанных с построением).

Логические методы научного познания .Анализ и синтез

Анализ – способ рассуждения в обратном направлении, при котором мы идем от неизвестного к известному, от того ,что нужно найти, к тому, что дано, т.е. от следствия к причине. Анализ – есть поиск решения или доказательства, хотя сам по себе решением не является.

Синтез – способ рассуждения, при котором мы идем от известного, от того, что дано, к тому, что нужно найти. Синтез, опираясь на результаты, полученные в ходе анализа, дает решение задачи. Т.о. анализ – это устный разбор задачи, а синтез – ее письменное оформление. Виды анализа: анализ текста задач, повторный анализ, дополнительный анализ, анализ данных и искомых с целью поиска плана решения, анализ с новой целью, анализ решения, анализ ответа, анализ через синтез.

Анализ – нисходящий, восходящий.

Индукция и дедукция

Индукция— рассуждение от частного к общему . Дедукция – рассуждение от общего к частному.

Виды индукции: - неполная–когда заключение делается на основе не всех случаев; - полная индукция–метод умозаключений, которые основываются на рассмотрении всех случаев.

Полная индукция является методом доказательных рассуждений (вывод после рассмотрения всех частных случаев, величина угла, вписанного в окружность, теорема о вписанном угле), а неполная индукция - метод, который наводит на общее рассуждение (вывод законов арифметических действий, формул). Метод неполной индукции часто приводит к ошибкам.

сравнение и аналогия

Сравнение - установление различия или сходство. Проводится при введении новых понятий и решения математических задач. Например: "сравнить значения выражений", "сравнить формулы:". Сравнение выступает как общий логический метод рассуждений, который позволяет выяснить и убедиться в чем-то. Чтобы успешно применить этот метод, используют принципы:

1)сравнивать можно только однородные объекты изучения, 2)необходимо четкое выделение свойств, по которым производится сравнение, 3)общее между объектами можно устанавливать только тогда, когда между ними существуют некоторые отличия.

Аналогия – рассуждение по аналогии переносят о свойствах объектов от одного на другое.

Обобщение и конкретизация

Обобщение – это мысленное выделение, фиксирование каких-либо свойств, принадлежащих только данному классу объектов или отношений. Под обобщением иногда понимают переход от данного множества объектов или отношений к другому более широкому множеству, содержащему данный класс.(параллелограмм – ромб)

Абстрагирование – прием мыслительного отвлечения от некоторых свойств или признаков. (арифм.прогрессия)

Конкретизация – мысленный переход от абстрактного к конкретному.(формулы сокращенного умножения).