25.Особенности методики изучения аксиом стереометрии и простейших выводов из них.

Введение аксиом стереометрии должно сопровождаться активным привлечением модели и изображения многогранника, предметов окружающей обстановки. Перед введением полезны задачи типа:

• На моделях многогр-в, предметах окружающей обстановки, изображениях многог-в укажите: а) линию пересеч основания пирамиды с ее бок гранью; б) какие-нибудь 3 точки основ-я пир-ы, не леж-е на одной прямой; в) какую-нибудь общую точку верхнего основания и правой бок грани параллелепипеда, линию перес-я указанных пл-й.

• Изобразите тетраэдр SABC, назовите: а) прямые, кот перес-ся с прямой SC; б) пл-ти, кот проходят ч/з вершину тетраэдра.

Аксиомы стереометрии:

А1. Ч/з любые три точки, не леж-е на одной прямой, проходит единственная пл-ть.

А2. Если 2 точки прямой лежат в пл-ти, то все точки прямой лежат в этой пл-ти.

А3. Если 2 пл-ти имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на кот лежат все общие точки этих пл-й.

Можно вводить по след схеме:

1. Иллюстрация аксиом на моделях;

2. Формулировка аксиом;

3. Схематический рисунок;

4. Символическая запись.

Знакомство с аксиомами стереометрии позволяет прейти к решению зад., кот явл подготовительными в построении сечений многогр-в. 2 опорные зад строить линию пересеч пл-й, строить точку перес прямой и пл-ти.

Напр, дан куб постр точку перес какой-нибудь прямой с какой-ниб пл-ю.

Уроки по реш таких зад несут особую логическую нагрузку. От учени-в требуется не только представить, изобразить, увидеть, но и обосновать, важно, чтобы они понимали, что на пл-ти изображения пространственных фигур могут перес-ся и зобр-я тех прямых и пл-й, кот не явл пересек-ся, поэтому чтобы избежать ошибок в своих рассуждения, проверить и скорректировать представления следует проверять очевидные факты с помощью логических рассуждений.

Обязательные ссылки на аксиомы приветствуются, используются символики, но в разумных пределах.

Следствия из аксиом:

Т1: ч/з прямую и не леж-ю на ней точку проходит единственная пл-ть.

Т2: ч/з 2 перес-ся прямые проходит единственная пл-ть.

Первые следствия из аксиом (2 теоремы выше) док-ся в 2 этапа: док-ся существование пл-ти конструктивным методом и док-во единственность и методом от противного. Конструктивный метод в дальнейшем будет часто исп-ся для реш зад и док-ва теоремы, поэтому все уч-ся должны уметь док-ть первые части теоремы.

Реше зад на построение сечений способствует усвоению аксиом стереометрии, следствий из них, развитию пространственных представлений и конструктивных навыков школьников:

1 этап: построение пересечения прямой и пл-ти (2-х пл-й) У Шлыкова: а) для построения прямой, по кот перес-я некот 2-е пл-ти α и β (напр, секущая пл-ть и пл-ть грани многог-а), нужно построить 2-е их общие точки, тогда прямая, прожод-я ч/з эти точки, есть линия пересеч-я пл-й α и β.

б) для построения точки перес-я прямой L и пл-ти α нужно построить точку перес-я прямой L и прямой L_1, по кот перес-ся пл-ть α и любая пл-ть, содержащая прямую L.

2 этап: построение сечений многог-в. У Шлыкова дается опре-е секущей пл-ти и сечение пирамиды и призмы.

Секущей пл-ю пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) наз такая пл-ть, по обе стороны от кот есть точки данной пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба).

Сечением пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) наз фигура, сост-я из всех точек, кот явл общими для пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и секущей пл-ти.

26. Методика изучения параллельности прямых и плоскостей в пространстве.

Методическая схема изучения параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве.

1. Сообщить определение.

2. Проиллюстрировать эти определения на моделях куба, классной комнаты, рисунке.

3. Провести логический анализ формулировки опред-я (если прямые пересекаются, значит имеют общую точку, если не перес-я., то они скрещив-я или параллельны).

4. Выполнить задания на нахождение параллельных и скрещивающихся прямых на модели или рис. куба и др.

5. Сопроводить показ параллельных и скрещивающихся прямых соответствующими обоснованиями.

Особое внимание следует уделить признаку скрещив-я прямых, который лежит в основе построения (две прямые наз-ся скрещивающимися, если не существует пл-ть, в которой они обе лежат).

Методическая схема д-ва теорем.

1. Подвести уч-ся к теореме, сформулировать ее.

2. Выполнить рис-к и сделать краткую запись теоремы.

3. Сообщить идею д-ва (устно 1 раз).

4. Привести план д-ва (с записью на доске 2 раза).

5. Предоставить уч-ся возможность самост-о осуществить д-во (если могут, то к доске и по плану – 3 раз).

6. Осущ-ть д-во (если ученики не могут, то учитель это делает сам – 3раз).

7. Закрепить д-во путем его воспроизведения (устно 4 раза).

8. Применить теорему к решению задач.

1. Параллельность прямых в пространстве. (Две прямые в прост-ве наз парал-ми, если они лежат в одной пл-ти и не перес-ся) Проводится на базе повторений соотв-го раздела из планиметрии. Подробно следует остановиться на решении задач о проведении прямой параллельной данной прямой и проход. ч/з данную точку; показать роль аксиом и следствий из них в процессе решения задачи; доказ теорему «ч/з любую точку пространства, не лежащей на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой». Заметим, что в пространстве можно провести сколько угодно прямых, параллельных данной пл-ти. Для закрепления опре-я параллельных и скрещ-ся прямых, признаков, их св-в целесообразно реш зад с использованием каркасных моделей.

2. Параллельность прямой и плоскости. (Прямая и по-ть наз параллельными, если они не имеют общих точек) Данную тему следует начать с беседы «о возможном числе общих точек у прямой и пл-ти», опираясь на соответствующие аксиомы. Вначале разб задачи «о построение прямых, имеющих с пл-ю 1 общую точку». Затем рассм возможные случаивзаимного расположения прямой и пл-ти. Затем доказ теорема «признак параллельности прямой и пл-ти (если прямая, не лежащая в данной пл-ти, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой пл-ти, то она параллельна данной пл-ти.)»(по метод схеме). Затем реш устные зад и зад на построение.

3. Параллельность плоскостей. (Две пл-ти наз параллельными, если они не перес-ся) Начинаем с беседы «о возмож числе точек 2 пл-й». Затем реш зад «о построении пересек пл-й», док-ся признак параллельности пл-й и рассм варианты. Проигрываются разные варианты (2 парал прямые параллельны 2 парал-м прямым 2-й пл-ти). Рассм-ся задачи, несколько задач на построение.