14. Паняцці ўраўнення і няроўнасці ў школьным курсе матэматыкі. Методыка навучання школьнікаў рашэнню алгебраічных ураўненняў, няроўнасцей і іх сістэм

Одна из функциональных линий, изучаемых в школе, это изучение уравнений, неравенств и их систем.

С элементарными уравнениями первичное знакомство в нач школе, когда нужно найти, например, неизвестное слагаемое по сумме известных или найти неизвестные элементы в операциях умножения (деления).

5-6 кл – продолжается реш простейших уравнений.

7 кл – ур-ния с одной переменной (линейные 3ч, реш задач с помощью ур-ний 3ч)

8 кл – квадратные ур-ния 28ч: частные случаи, выделение полного квадрата, формула корней, использование квадратных ур-ний при решении задач, уравнения, содерж переменную в знаменателе (под знаком модуля), метод замены.

9 кл – в теме ф-ция рассматриваются нули ф-ции(2ч) и промежутки знакопостонства, с-мы ур-ний с двумя переменными (22ч).

10кл – в теме тригоном ф-ции: решен простейших тригоном ур-ний, тригоном ур-ния

11кл – показательные ур-ния(3-5ч), логарифмические ур-ния(4-6ч), иррац ур-ния и нер-ва(5-8ч).

Неравенства

В нач школе изуч простейшие числовые нер-ва с одной переменной.

5-6 кл – аналогично.

7кл – ничего

8 кл – числовые нер-ва и их св-ва, линейные нер-ва, нер-ва с модулем, содерж квадратные корни

9 кл – квадратные нер-ва(19-22ч), метод интервалов, рац нер-ва.

Общая последовательность изучения материала:

1 процесс – постепенное возраст кол-ва часов,

2 процесс – установление разлияных связей между различными классами ур-ний (нер-в)

В результате взаимодействия этих процессов изуч материала должно предоставляться учащимся в компактном виде, облегчающем его усвоение.

1 ступень.

1)независимое изучение основных типов ур-ний, нер-в и их систем,

2)обоснованное расширениекол-ва изучаемых классов ур-ний

3)использование приемов решений и анализа ур-ний

4)алгоритм решения.

2 ступень

Обоснованное введение каждого нового класса д. сопровождаться введением новой формулировки определения, новых алгоритмов решения.

3 ступень

Использование различных приемов и анализ – каждый из основных типов требует проведения исследования результатов решения в зависимости от коэф ур-ния.

4 ступень(синтез)

Формирование общих приемов решения и исследования ур-ний и нер-в. В нахождении общих приемов реш выделяют 3 группы:

-теоритич обоснование методов решения (суть – использ-ние тождеств или логич преобраз приводит к новым ур-ниям или нер-вам.

-заключается в применении конкретных приемов, в результате кот производится упрощение исходного ур-ния или нер-ва, используя подстановку, различные промежуточные подсчеты.

-содержит аналитические приемы, большинство из кот в качестве образца используют либо координатную прямую, либо координ плоскость для графич методов реш.

Выделяют три типа преобразований решу р-ний, нер-в и их систем: 1)преобразование одной из частей нер-в, 2)согласованное преобразование обеих частей, 3)преобраз логической структуры.

Определения

В метод.литературе встречаются различные определения понятия «уравнение»:

1. Уравнением с одной переменной называется равенство, содержащее эту переменную. При этом переменная в уравнении часто называется неизвестным. Значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство, называется корнем или решением уравнения.

2. Равенство, содержащее неизвестное число, называется уравнением.

Эти определения не обладают достаточной степенью строгости. Более строгое определение понятия уравнения даётся в математической логике: предикат вида P(x)=Q(x), где x принадлежит Х, называется уравнением. Х – область определения уравнения.

«уравнение вида ax=b, где х – переменная, a, b – числа, называется линейным уравнением с одной переменной. Число а называется коэффициентом при переменной, число b – свободным членом».

Даётся алгоритм, как поступать при решении дробных уравнений:

1. найти общий знаменатель

2. заменить данное выражение целым, умножив обе его части на общий знаменатель

3. решается полученное целое уравнение

4. сделать проверку, т.е. отбросить те значения х, которые обращают знаменатель в ноль

опр-ние. Определяют числовое неравенство следующим образом. «Говорят, что число а больше числа b, если разность а-b число положительное, и записывают a>b, где значок > значит «больше»(аналогично для меньше). Выражение a>b наз. Неравенством. Свойства числовых неравенств:

1*)a>b =>b<a

2*)a>b, b>c =>a>c

3*)a>b, для любого с a+c>b+c

4) следствие a+b>c => a>c-b

5)a>b, c>d => a+c>b+d

6*) a>b, c>0 => ac>bc; a>b, c<0 => ac<bc (и для деления)

7) a>b>=0, c>d>=0 => ac>bd

8) a>b>=0, n принадлежит N => aⁿ>bⁿ

Неравенство вида ax+b>0, где a,b – числа, x – переменная, называется линейным. Решаются такие неравенства след. Обр.

ax+b>0 ax>-b: при a>0 x>-b/a, при a<0 x<-b/a, при a=0 b>0 x – любое, a=0 b<=0 x не имеет решений.

Неравенство вида ax²+bx+c>0, где a,b,c – числа, a<>0, x – переменная, называется квадратным.

Функция вида f(x)=p(x), где p(x) – многочлен, наз. Рациональной ( f(x)=p(x)/q(x), где p(x) и q(x) многочлены – дробно-рац.) Дробно-рац ф-ция определена, если q(x) не обращается в нуль. Соотв-но, p(x)>0, p(x)/q(x)>0 – рац. и дробно-рац неравенства.

Решаются методом интервалов, который основывается на данном этапе на идеи перемены знака бинома х-а при переходе через точку а.