§5. Статистические гипотезы

При статистическом анализе в технике, экономике, социологии для выявления какого-либо факта часто прибегают к выдвижению гипотез (умозаключений) и последующей их проверке.

Статистическими гипотезами называют предположения относительно вида распределения случайной величины или его отдельных параметров. Так, например, гипотеза о нормальном законе распределения производительности труда рабочих, гипотеза о равенстве средних размеров деталей, производимых на одинаковых по техническим свойствам станках и т.д.

Сопоставление выдвигаемой гипотезы относительно генеральной совокупности, осуществляемое на основании анализа выборки, называется проверкой статистической гипотезы.

Статистические гипотезы можно классифицировать как гипотезы о законах распределения и гипотезы о параметрах распределения.

Виды задач, решаемых с помощью гипотез, делятся на 4 группы:

• способы проверки случайности, независимости и однородности результатов измерений;

• задачи по проверке средних значений и дисперсий для одной или двух нормально распределенных случайных величин;

• задачи по проверке гипотез о наличии линейной и множественной корреляции и регрессии;

• задачи по проверке законов распределения, определения резко выделяющихся результатов, определения вероятности для нахождения генеральных совокупностей

На рис. 5.1 приведена классификация гипотез отличающихся по характеру решаемых задач.

Любая статистическая гипотеза проверяется на основе статистического критерия - формулы (правила) с помощью которого определяется мера расхождения результатов выборочного наблюдения с высказанной гипотезой. В результате этой проверки выдвигаемая гипотеза либо отвергается, либо принимается.

Статистических гипотез всегда две и они взаимоисключающие. Выдвигаемую на проверку гипотезу называют нулевой (Н₀), противоположную ей гипотезу называют конкурирующей, альтернативной (Н₁).

Пусть проводится исследование игральной кости – “проверяется” ее симметричность. Ясно, что в качестве нулевой гипотезы надо считать предположение о полной симметрии кости. Ведь если Н₀ верна, то вероятности выпадения всех шести цифр на гранях будут одинаковы – по 1/6. А вот выдвижение в качестве нулевой гипотезы предположения об асимметрии кости ничего бы не дало – в этом случае ничего нельзя сказать о вероятностях выпадения цифр.

Выбор критерия для проверки статистических гипотез производят на основании различных принципов. В основном используется принцип отношения правдоподобия. Суть его сводится к выбору такого критерия (К), чтобы при заданном уровне значимости α, можно было найти критическую точку К_кр, которая разделила бы область значений на 2 части на более или менее правдоподобные в отношении нулевой гипотезы Н₀. К сожалению, не существует единого, универсального критерия значимости – их приходится разрабатывать в теории и использовать на практике применительно к особенностям конкретных задач. В результате применения критерия возможны 4 случая:

• гипотеза Н₀ верна и она принимается согласно критерию;

• гипотеза Н₀ не верна и она отвергается согласно критерию;

• гипотеза Н₀ верна, но отвергается (ошибка первого рода);

• гипотеза Н₀ не верна, но она принимается (ошибка второго рода).

Рис.5.1. Классификация гипотез.

С процедурами проверки статистических гипотез связано понятие уровня значимости результатов наблюдений. Уровнем значимости α называется вероятность совершить ошибку I-го рода, т.е. отвергнуть верную гипотезу. Вероятность совершить ошибку II-го рода - обозначается β. С уменьшением α возрастает вероятность ошибки β.

Мощностью критерия называется выражение (1-β) - вероятность того, что нулевая гипотеза (Н₀) будет отвергнута, если верна конкурирующая (Н₁), т.е. вероятность не допустить ошибку II-го рода. При расчетах принято задавать вероятность ошибки I-го рода (уровень значимости α). Для этого используют следующие значения: 0,1; 0,05; 0,025; 0,01; 0,001; 0,005.

Множество значений критерия К разбивается на 2 части, при этом одна из них содержит значения при которых нулевая гипотеза отвергается, а другая - принимается.

Критической называется область значений, при которых нулевая гипотеза отвергается. Областью принятия гипотезы является совокупность значений критерия при которых нулевая гипотеза принимается.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области (т.е. области, где нулевая гипотеза отвергается). Правосторонней называется критическая область (нулевая гипотеза отвергается), если К > К_кр, где К_кр > 0. Левосторонней называется критическая область, если К < К_кр, где К_кр < 0. Двусторонней называется критическая область, которая определяется следующими неравенствами: К < К_1кр; К > К_2кр.. Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку.

Пример 5.1.

Предположим, что если верна гипотеза , то критерий распределен по нормальному закону N(5,3) (т.е. математическое ожидание , дисперсия ), а если верна конкурирующая гипотеза , то критерий распределен по закону N(15,3). Требуется вычислить мощность критерия, когда в качестве критической рассматривается область больших значений, и мощность, когда в качестве критической рассматривается область больших по модулю значений. Уровень значимости возьмем 0.05.

Решение:

В первом случае границу правосторонней критической области найдем из условия

,

поэтому

Значит, . По таблицам значений функции находим, что

.

Поэтому границы правосторонней критической области . Чтобы вычислить ошибку второго рода , нужно найти вероятность попадания в область допустимых значений при условии, что гипотеза неверна. В этом случае считается справедливой гипотеза , а критерий будет распределен по закону N(15,3). Значит,

и мощность критерия .

Во втором случае правая граница критической области вычисляется из условия

Поэтому

.

Значит, . Левая граница критической области симметрична с точкой относительно точки , т.е. левая граница . Тогда вероятность ошибки составит

Поэтому мощность критерия во втором случае равна . Значит, односторонняя критическая область больших значений является предпочтительной.

На основе вышеизложенного сформулируем основные этапы проверки статистической гипотезы:

1. Выдвигается нулевая гипотеза Н₀ (т.е. предположение нуждающееся в проверке) и альтернативная гипотеза Н₁.

2. Задается величина уровня значимости α.

3. Задается некоторая функция от результатов наблюдения - (критическая статистика, которая сама является случайной величиной). В предложении о справедливости гипотезы Н₀ эта функция подчиняется некоторому хорошо изученному закону распределения и обычно задается в форме таблицы.

4. Из таблицы находят и точки, которые делят всю область на 3 части:

• область неправдоподобно малых значений

• область вероятностных значений

• неправдоподобно больших значений

Рассмотрим более подробно задачу проверки гипотез о законе распределения, так как во многих практических задачах возникает необходимость определения закона распределения исследуемой случайной величины, проверка согласованности теоретических и эмпирических функций распределения.

В этом случае прежде всего ставится нулевая гипотеза H₀ о том, что случайная величина подчиняется конкретному теоретическому закону распределения F(х). Выдвинутая для проверки гипотеза проверяется по выборке из генеральной совокупности. Предварительно по выборке строится эмпирическая функция распределения исследуемой величины. Затем производится сравнение эмпирического и теоретического распределения с помощью специально подобранных, так называемых, критериев согласия. Различают несколько критериев согласия: χ ² Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Наиболее часто употребляется критерий согласия χ² Пирсона (хи квадрат).

Критерий χ ² (хи квадрат - критерий К.Пирсона).

Правило применения критерия χ ² сводится к следующему алгоритму:

1. рассчитывается значение χ²;

2. выбирается уровень значимости критерия ;

3. по таблице распределения функции Лапласа определяется χ²(k, ) если , то гипотеза отвергается, если , то гипотеза принимается.

Согласно критерию χ ²

, где .

Распределение χ ² зависит от числа степеней свободы. При применении критерия Пирсона оно равно: - где r - число параметров предлагаемого теоретического закона, использованных для вычисления теоретических частот.

Критерий имеет ряд ограничений: он применим для рядов: имеющих большой объем выборки, достаточную величину частот в крайних интервалах, количество интервалов должно быть не менее пяти.

Критерий Колмогорова.

В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределением рассматривается максимальное значение модуля разности между статистической и соответствующей ей теоретической функцией распределения. В качества критерия берется следующее выражение

Алгоритм критерия Колмогорова применяется следующим образом:

1. Строится статистическая функция распределения F*(х) и предполагаемая теоретическая функция распределения F(x);

2. Определяется максимальная величина D_n модуля разности между этими распределениями;

3. Определяется величина и находится вероятность Функция табулирована, см. приложение 7. - вероятность того, что за счет чисто случайных причин максимальное расхождение между F(x) и F*(x) будет не меньше, чем фактически наблюдаемое. Если эта вероятность мала, то гипотезу Н₀ следует отвергнуть как неправдоподобную, при больших , ее можно считать совместной с данными. Критерий Колмогорова по сравнению с другими очень прост. Недостаток его в том, что критерий можно применять, когда функция распределена F(х) известна полностью.

Рассуждая аналогичным образом, можно получить статистики и для других задач проверки гипотез (см. таблицу 5.1).

Пример 5.2.

По результатам п = 9 замеров установлено, что среднее время изготовления детали . Предполагая, что время изготовления подчиняется нормальному распределению с дисперсией на уровне значимости , решить:

а) можно ли принять 50с в качестве нормативного времени (математического ожидания) изготовления детали;

б) можно ли принять за норматив 49с?

Решение: (Эта задача о проверке гипотезы о числовом значении математического ожидания при известной дисперсии)

а) по условию задачи нулевая гипотеза с. Так как , то в качестве альтернативной возьмем гипотезу , т.е. имеем случай 2 при . По изложенной схеме получаем . Подставив исходные данные , получаем . Так как число –2 попадает в критическую область , то гипотеза с отвергается и принимается ;

б) здесь нулевая гипотеза с, альтернативная . Снова имеет место случай 2 при . Так как не попадает в критическую область, то гипотеза с не отвергается и в качестве норматива времени изготавления детали берем 49 с.

Таблица 5.1.

Статистики для задач проверки гипотез

Гипотеза	Статистика	Границы	Критерий
Гипотеза о значении генеральной средней нормальной совокупности: а) при известной генеральной дисперсии:	tнабл= при - правосторонняя критическая область при - левосторонняя критическая область при -двусторонняя критическая область (нормированный закон распределения)	границы находят из условий Ф(tкр)=1-2α Ф(tкр)=1-α	если │tнабл│> tкр то гипотеза отвергается если │tнабл│≤ tкр гипотеза не противоречит опытным данным
б) при неизвестной генеральной дисперсии:	tнабл= при - правосторонняя при - левосторонняя при - двусторонняя критическая область (распределение Стюдента)	определяются по таблице t - распре-деления (уровень значимости = α; число степеней свободы n - 1 при односторонней области St = 2α при двухсторонней St=	│t│> tкр
Гипотеза о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей: а) при известных генеральных дисперсиях:	tнабл= (распределение Стюдента)	границ находятся по таблице Ф(t)
б) при неизвестных генеральных дисперсиях:	tнабл= (распр.Стюдента)	имеет распределение Стюдента (степень свободы)	Если │tнабл│> tкр то гипотеза отвергается, При │tнабл│≤ tкр гипотеза не противоречит опытным данным
Гипотеза о значении дисперсии генеральной совокупности (значения признака распределены по нормальному закону) Н1:		распределение xu-квадрат (n-1) степень свободы	если , то нулевая гипотеза H0: отвергается
Гипотеза о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей	, где исправление дисперсии (распределение Фишнра-Снедекора(F - распределение))	границы ( определяют по таблице F	если , то гипотеза не противоречит опытным данным; если , то гипотезу отвергают.
Гипотеза об однородности ряда дисперсий.	здесь - число степеней свободы i - той выборки , l - кол-во нормальных генеральных совокупностей из которых извлечены выборки. При выполнении нулевой гипотезы и при имеет распределение с степенью свободы. имеет распределение G с и lстепенями свободы, где - наибольшая из исправленных выборочных дисперсий.	Границы определяют по таблице распределения х2 для уровня значимости и числа степеней свободы . При выполнении и при , х2 имеет вид распределения с степенью свободы. Применяется, когда объемы выборок извлеченных из генеральных совокупностей равны.	Критерий Батлета: Критерий Кохрана, если , то гипотезу отвергают, если , то считают, что гипотеза не противоречит опытным значениям.

Пример 5.3.

Хронометраж затрат времени на сборку узла машины п=21 слесарей показал, что мин, а мин². В предложении о нормальности распределения решить вопрос: можно ли на уровне значимости считать мин нормативом (математическим ожиданием) трудоемкости.

Решение: (Эта задача о проверке гипотезы о числовом значении математического ожидания при неизвестной дисперсии)

В качестве основной гипотезы принимается мин, в качестве альтернативной мин, при этом . Используя таблицу приложения 5 при , находим

;

.

Вычисляем . Так как число попадает в критическую область (конкретно в интервал , то гипотеза мин отвергается.

Пример 5.4.

По результатам n=4 измерений в печи найдено =254C. Предполагается, что ошибка измерения есть нормальная случайная величина с  = 6C. На уровне значимости =0.05 проверить гипотезу H₀: =250C против гипотезы H₁: =260C. В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.

Решение:

₁>₀  выберем правостороннюю критическую область.

Так как используем правостороннюю критическую область, и t_кр>t_набл, то на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается (|t_кр|-|t_набл|=0,98).

Пример 5.5.

На основание n=5 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна мм, а S=1,2мм. В предположение о нормальном распределение вычислить на уровне значимости =0,01 мощность критерия при гипотезе H₀ : 50 и H₁ : 53.

Решение:

Вычислим мощность критерия по формуле:

где .

Пример 5.6.

На основании n = 15 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна =70мм и S=3. Допустив, что ошибка изготовления есть нормальная случайная величина на уровне значимости =0.1 проверить гипотезу H₀: мм² при конкурирующей гипотезе . В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.

Решение:

построим левостороннюю критическую область.

Вывод: на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается ( ).