Коэффициент ранговой корреляции Кендалла

Применяется для выявления взаимосвязи между количественными или качественными показателями, если их можно ранжировать. Значения показателя X выставляют в порядке возрастания и присваивают им ранги. Ранжируют значения показателя Y и рассчитывают коэффициент корреляции Кендалла:

,

где  .

 — суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с большим значением рангов Y.

 — суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с меньшим значением рангов Y. (равные ранги не учитываются!)

Если исследуемые данные повторяются (имеют одинаковые ранги), то в расчетах используется скорректированный коэффициент корреляции Кендалла:

 — число связанных рангов в ряду X и Y соответственно.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Каждому показателю X и Y присваивается ранг. На основе полученных рангов рассчитываются их разности   и вычисляется коэффициент корреляции Спирмена:

Коэффициент корреляции знаков Фехнера

Подсчитывается количество совпадений и несовпадений знаков отклонений значений показателей от их среднего значения.

C — число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних совпадают.

H — число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних не совпадают.

Коэффициент множественной ранговой корреляции (конкордации)

 — число групп, которые ранжируются.

 — число переменных.

 — ранг  -фактора у  -единицы.

Значимость:

, то гипотеза об отсутствии связи отвергается.

В случае наличия связанных рангов:

Ранговые коэффициенты связи.

В анализе массовых процессов и явлений часто приходится прибегать к различным условным оценкам, которые называются рангами, а взаимосвязь между отдельными признаками измерять с помощью непараметрических коэффициентов связи. Эти коэффициенты исчисляются при условии, что исследуемые признаки подчиняются различным законам распределения.

Ранжирование - процедура упорядочивания объектов изучения, которая выполняется на основе предпочтения.

Ранг - порядковый номер значений признака, расположенных в порядке возрастания или убывания их величин. Если значения признака имеют одинаковую количественную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической от соответствующих номеров мест, которые они определяют. Данные ранги называются связными.

Среди непараметрических методов оценки тесноты связи наибольшее значение имеют ранговые коэффициенты Спирмена ( ) и Кендала ( ). Эти коэффициенты могут быть использованы для определения тесноты связей как между количественными, так и между качественными признаками при условии, если их значения упорядочить или проранжировать по степени убывания или возрастания признака.

Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается для случаев, когда нет связных рангов. Его формула:

где - квадрат разности рангов;

n - число наблюдений (число пар рангов).

Коэффициент Спирмена принимает любые значения в интервале (-1;1) . Значимость коэффициента корреляции рангов Спирмена проверяется на основе критерия Стьюдента.

Расчет коэффициента Спирмена осуществляется по следующему алгоритму. Сначала ранжируются значения результирующего признака. Затем ранжируются значения факторного признака. Значения рангов парных признаков : результирующего и факторного сравниваются, вычисляется разница рангов, которая возводится в квадрат и далее подставляется в формулу.

Ранговый коэффициент корреляции Кендалла может использоваться для измерения взаимосвязи между качественными и количественными признаками, характеризующими однородные объекты. Ранжированные по одному принципу. Расчет рангового коэффициента Кендалла осуществляется по формуле

где n- число наблюдений;

S - сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по второму признаку. S = P + Q

Расчет данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:

1) значения Х ранжируются в порядке возрастания или убывания;

2) значения У располагаются в порядке, соответствующем значениям Х;

3) для каждого ранга У определяется число следующих за ним рангов, превышающих его величину. Суммируя таким образом числа, определяется величина Р как мера соответствия последовательностей рангов Х и У и учитывается со знаком (+);

4) для каждого ранга У определяется число следующих за ним рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается через Q и фиксируется со знаком (-);

5) определяется сумма баллов по всем членам ряда.

Формула Кендалла используется и для связных рангов.

Как правило коэффициент Кендалла меньше коэффициента Спирмена.

Связь между признаками можно признать статистически значимой, если значения коэффициентов ранговой корреляции Спирмена и Кендалла больше 0.5.

Для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков применяется множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации) (W), который вычисляется по формуле:

где m - количество факторов;

n - число наблюдений;

S - отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов.

Коэффициент конкордации принимает любые значения в интервале (-1;1) .

Ранговые коэффициенты корреляции Спирмена, Кендалла и конкордации обладают тем преимуществом, что с их помощью можно измерять и оценивать связи как между количественными, так и между атрибутивными признаками, которые поддаются ранжированию.