§ 4. Алгебра. Изоморфизм алгебр. Изоморфизм алгебры
линейных операторов и алгебры матриц
Определение 1. Алгеброй над полем Р называется множество , в котором заданы операции: сложение, умножение и умножение на числа из Р, причем относительно сложения и умножения на числа множество является векторным пространством над Р, а умножение связано со сложением и умножением на числа следующими условиями: для любых а, b, c из и любого числа из Р:
1. (а + b)c = ac + bc,
2. a(b + c) = ab + ac,
3. (ab) = (a)b = a(b).
Из следствия § 3 и равенств (4) этого же параграфа следует, что множество линейных операторов относительно введенных операций сложения, умножения и умножения на числа образует алгебру. Классическим примером алгебры является множество Mn(P) всех квадратных матриц n-го порядка с элементами из поля Р. Геометрические векторы относительно обычного сложения, умножения на числа и векторного произведения также образуют алгебру.
Определение 2. Изоморфизмом алгебр и над одним и тем же полем Р называется биекция f: , такая, что для любых a и b из и любого числа из Р:
f(a+ b) = f(a) + f(b), (1)
f(a) = f(a), (2)
f(ab) = f(a)f(b). (3)
В математике изоморфные алгебры не считаются различными, так как они могут отличаться только природой своих элементов.
Теорема. Алгебра линейных операторов L(V) n-мерного векторного пространства V изоморфна алгебре Mn(P) квадратных матриц n-го порядка с коэффициентами из поля Р.
Доказательство. Выберем и зафиксируем в V какой-либо базис e = (e1,…,en) и построим отображение f:L(V) Mn(P) следующим образом: каждому линейному оператору сопоставим его матрицу А в данном базисе, иными словами
f() = A e = eA. (4)
Проверим первое условие изоморфизма алгебр, то есть, что f( + ) = A + A.
Для этого, руководствуясь (4), найдем
(+)e = ((+)e1,…,(+)en) = (e1+ e1,…,en + en) = e + e = = eA +eA = e(A +A). (5).
Аналогично, из равенств ()е = е = еА = е А следует, что f() = А.
Прежде чем проверять третье свойство изоморфизма, напомним, что в § 2 этой главы из формул (3) и (4) следовала справедливость равенства (еТ) = (е)Т, где Т – невырожденная матрица. Но приведенные там рассуждения справедливы и для любой матрицы. Имея это ввиду, получим
()е = (е) = (еА) = (е)А = (еА)А = е(А А), откуда и следует, что f() = AA.
Теорема доказана.
§ 5. Ядро и образ линейного оператора
Пусть V – n-мерное векторное пространство над полем Р, :VV линейный оператор.
Определение 1. Множество Im образов всех векторов из V при отображении называется образом линейного оператора , то есть
Im ={xxV}.
Теорема 1. Образ линейного оператора является векторным подпространством, размерность которого равна рангу этого линейного оператора.
Доказательство. Покажем, что Im подпространство. Пусть х, у любые векторы из образа, то есть х= х, у= у, где х, у – некоторые векторы из V, а любое число.
Тогда х+ у = х + у = (х + у) Im, x = x = (x) Im. По теореме 1 §6 главы 1 заключаем, что образ оператора – подпространство. Выясним его размерность.
Пусть е1,…,en – некоторый базис в V, а х произвольный вектор пространства V. Тогда этот вектор разложится по базису в виде х = x1e1+…+ xnen, а образ этого вектора имеет вид
х = x1e1 +…+xnen. (1)
Равенство (1) говорит нам о том, что система образов базиса является системой образующих для Im, то есть Im = <e1,…,en>, а максимальное число независимых векторов в этой системе будет размерностью образа линейного оператора. Если вспомнить правило составления матрицы линейного оператора в базисе, то очевидно, что независимых векторов в системе будет столько, сколько независимых столбцов в матрице линейного оператора. Следовательно, rang = dimIm, и теорема доказана.
Определение 2. Ядром линейного оператора называется множество Ker таких векторов, образы которых равны нулю, то есть
Ker = {xx = 0}.
Теорема 2. Ядро Ker линейного оператора есть подпространство векторного пространства, причем его размерность
dimKer = n - rang.
Доказательство. Пусть х и у – произвольные векторы из ядра линейного оператора, то есть х = 0 и у = 0, а любое число. Поскольку (х + у) = х + у = 0 и (х) = х = 0, то х + у Ker и хKer. Это значит, что Ker подпространство. Чтобы выяснить его размерность, поступим следующим образом: выберем базис e1,…,en пространства V следующим образом. Первые k векторов е1,…,ek выберем в ядре оператора , а затем дополним эту систему до базиса всего пространства. Так как e1 = …= ek = 0 , то в этом случае Im = <ek+1,…,en>. Оказывается, все векторы ek+1,…,en линейно независимы. Действительно, предположив противное, составим нулевую нетривиальную комбинацию этих векторов k+1ek+1 + … +nen= 0. Тогда можно построить ненулевой вектор a = k+1ek+1 +… +nen , заведомо не принадлежащий ядру (иначе он выразился бы через базис ядра).
Но равенство а = k+1ek+1+…+nen = 0 показывает, что вектор а принадлежит ядру, а это противоречит построению указанного вектора. Теперь очевидно, что dimIm = rang = n-k, а так как размерность ядра равна k, то получаем, что
dimKer = n-rang.
Размерность ядра линейного оператора называют дефектом линейного оператора и обозначают def.
Покажем, как описать ядро линейного оператора , если дан произвольный базис е = (e1,…,en), а оператор задан в этом базисе своей матрицей А. Тогда координаты вектора у = x вычисляются по формуле [y] = A[x] (см. глава 2, § 1, равенство (9)). Очевидно, вектор х тогда и только тогда принадлежит ядру, когда у = 0, то есть А[x] = 0 ( здесь 0 –матрица-столбец из нулей). Это значит, что координаты векторов ядра найдутся как решения системы линейных уравнений
a11x1 +…+ an1xn = 0,
……………………. (2)
a1nx1 +…+ annxn = 0.
Пример. Найти ядро и образ линейного оператора φ, заданного в некотором базисе пространства R4 матрицей
Решение. Находим ранг матрицы линейного оператора:
rank
A
= 2.
Значит, размерность образа линейного оператора Im φ равна 2, размерность ядра kerφ равна 4 – 2 = 2.
Базис образа можно, например, составить из векторов φе1, φе2, координаты которых записаны в первых двух столбцах матрицы А.
Im φ = < φе1, φе2 >.
Для отыскания ядра решаем однородную систему уравнений:
x1 + 3x2 + 5x3 + x4 = 0,
2x1 + x2 + 3x3 + x4 = 0.
Общее решение этой системы: (-4α -2β, -7α –β, 5α, 5β). Базис ядра составляют, например, векторы (-4, -7, 1, 0) и (-2, -1, 0, 1).