§3. Ортогональная матрица

Определение. Матрица Q с элементами из действительных чисел называется ортогональной, если

Q^tQ = E, (1)

где Е – единичная матрица.

Если обе части равенства (1) умножить на матрицу Q слева, а затем на матрицу Q^-1 справа, то получим эквивалентное (1) равенство

QQ^t = E . (2)

Запишем выражения равенств (1) и (2) через элементы данных матриц. Пусть

Q = , Q^t =

Тогда из (1) получим, что

, (3)

а из (2) следует, что

(4)

Отметим простейшие свойства ортогональной матрицы, вытекающие непосредственно из определения.

1) Матрица Q ортогональна тогда и только тогда, когда Q^t = Q^-1.

2) Матрица Q^t, полученная транспонированием ортогональной матрицы Q, ортогональна.

Это утверждение становится очевидным, если в (2) заменить Q на (Q^t)^t и сравнить c (1).

3) Q = 1.

В самом деле, из (1) следует, что QQ^t = QQ^t = Q² =E =1, откуда и следует свойство (3).

4) Матрица Q^-1, обратная к ортогональной матрице Q, ортогональна.

Действительно, (Q^-1)^t = (Q^t)^t = Q = (Q^-1)^-1 и из 1) заключаем, что утверждение верно.

5) Произведение ортогональных матриц является ортогональной матрицей.

Пусть Q₁, Q₂  ортогональные матрицы. Тогда (Q₁Q₂)^t(Q₁Q₂) = =Q^t₂Q^t₁Q₁Q₂ = Q^t₂(Q^t₁Q₁)Q₂ = Q^t₂EQ₂ = Q^t₂Q₂ = E, и по определению 1 убеждаемся, что Q₁Q₂ – ортогональная матрица.

В заключение параграфа докажем, что справедлива следующая

Теорема. Матрица перехода от ортонормального базиса к ортонормальному ортогональна.

Доказательство. Пусть матрица перехода от базиса е₁,…,е_п к базису е₁,…,е_п будет Q.

Положим e_i = e_k, e_j = e_m. Тогда

(e_i,e_j) = ( e_k, e_m) = (e_k,e_m). (5)

Учитывая, что базисы е₁,…,е_п и е₁,…,е_п  ортонормированные, перепишем (5) в виде

. (6)

Пользуясь свойствами символа Кронекера , перепишем правую часть равенства (6) следующим образом: , что в силу (4) означает, что Q – ортогональная матрица.

§4. Изоморфизм евклидовых пространств

Пусть над полем действительных чисел R заданы два евклидовых пространства Е и Е.

Определение. Изоморфизмом евклидовых пространств Е и Е называется такая биекция f:EE, что для любых векторов a, b из Е и любого действительного числа 

f(a + b) = f(a) + f(b), (1)

f(a) = f(a), (2)

(f(a),f(b)) = (a,b). (3)

Сравнивая это определение с определением изоморфизма векторных пространств (см.§ 5 главы 1), мы видим, что изоморфизм евклидовых пространств – это такой изоморфизм векторных пространств, который сохраняет скалярное произведение. По аналогии с изоморфизмом векторных пространств, легко показать, что если f – изоморфизм евклидовых пространств, то и f ^-1  изоморфизм, что композиция изоморфизмов есть снова изоморфизм и т.п.

Если существует хотя бы один изоморфизм пространств Е и Е, то пространства называют изоморфными.

Теорема. Евклидовы пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые размерности.

Необходимость. Если евклидовы пространства изоморфны, то они изоморфны как векторные пространства, а тогда по теореме § 5 главы 1 dimE = dimE.

Достаточность. Пусть размерности пространств Е и Е равны. Выберем в Е ортонормированный базис е₁,…,е_п, а в Е  ортонормированный базис е₁,…,е_п. Построим отображение f:EE следующим образом: каждому вектору х = х₁е₁+…+х_пе_п из Е поставим в соответствие вектор f(x) = x₁e₁+…+x_ne_n. Очевидно, что f – биекция, и что в силу теоремы 2 § 3 главы 1 выполняются условия (1) и (2). Если наряду с вектором х взять вектор у = у₁е₁+…+у_пе_п, то (х,у) = х₁у₁+…+х_пу_п, так как выбранный базис  ортонормирован. Но векторы f(x) и f(y) имеют такие же координаты, как х и у, в ортонормированном базисе е₁,…,е_п, а потому их скалярное произведение равно скалярному произведению (х,у). Теорема доказана.