§ 6. Симметрический и кососимметрический линейные
операторы
Определение 1. Линейный оператор евклидова пространства Е называется симметрическим, если .
Иначе, оператор называется симметрическим, если для любых векторов х и у из Е
(х,у) = (х,у). (1)
Теорема 1. Симметрический оператор обладает следующими свойствами:
а) сумма симметрических линейных операторов и произведение симметрического оператора на число являются симметрическими операторами;
b) матрица симметрического линейного оператора в любом ортонормированном базисе симметрична.
c) если матрица линейного оператора симметрична хотя бы в одном ортонормированном базисе, то оператор – симметричен.
В самом деле, если = , то из теоремы 4 предыдущего параграфа следует, что
() = = , () = = ,
таким образом, выполнено свойство а). Свойство b) очевидно из (7) предыдущего параграфа, так как при равенство А = Аt означает симметричность матрицы А. Свойство с) есть простое следствие теоремы 3 § 5 и определения 1.
Теорема 2. Собственные векторы симметрического линейного оператора, относящиеся к различным собственным значениям, ортогональны. В самом деле, пусть х и у собственные векторы симметрического оператора и пусть х = х, у = у, причем . Тогда из (1) следует, что (х,у) = (х,у), (-)(х,у) = 0, а так как 0, то (х,у) = 0.
Определение 2. Линейный оператор евклидова пространства называется кососимметрическим, если = - .
Иными словами, оператор является кососимметрическим в том и только в том случае, когда для любых векторов
(х,у) = - (х,у). (2)
По аналогии со свойствами симметрического оператора, легко показать, что сумма кососимметрических операторов и произведение на число кососимметрического оператора являются кососимметрическими операторами, что матрица кососимметрического оператора в любом ортонормированном базисе кососимметрична и что если матрица линейного оператора кососимметрична хотя бы в одном ортонормированном базисе, то оператор кососимметричен.
Пусть L(E) – множество всех линейных операторов евклидова пространства, S(E) – множество всех симметрических, а С(Е) – множество кососимметрических операторов евклидова пространства. В § 3 главы 2 мы установили, что множество всех линейных операторов векторного пространства само образует векторное пространство, а из свойств симметрических и кососимметрических операторов следует, что S(E) и С(Е) являются подпространствами L(E).
Теорема 3. L(E) = S(E) C(E).
В самом деле, S(E)C(E)={0}, а для любого L(E) имеем
=
+ ,
(3)
где
=
S(E),
=
C(E).
§ 7. Критерий симметричности линейного оператора
В этом параграфе мы установим необходимый и достаточный признак симметричности линейного оператора.
Лемма. Все корни характеристического многочлена действительной симметрической матрицы действительны.
Доказательство.
Пусть матрица А =
действительная симметрическая матрица
и f()
= A-E
ее характеристический многочлен, а 0
– корень
этого многочлена, вообще говоря,
комплексный. Составим вспомогательную
систему линейных однородных уравнений
,
i=
1,2,…,n,
(1)
определитель которой А-0Е равен нулю. Эта система имеет нетривиальное, вообще говоря, комплексное решение 1,2,…,п , а тогда будут иметь место п тождеств
i
= 1,2,…,n.
(2)
Договоримся
обозначать чертой сверху число
сопряженное числу с
= a+bi,
заметив при этом, что
всегда действительное число, а с
действительно
тогда и только тогда, когда
Умножим
каждое i-ое
тождество в (2) на
,
после чего все эти тождества сложим.
Получим одно тождество вида
(3)
Коэффициент
при 0
в этом
тождестве действителен. Если окажется,
что и число в левой части (3) действительно,
то лемма верна. Мы проверим, что число,
сопряженное левой части (3), совпадает
с этим же числом, чем и завершим
доказательство. В самом деле, используя
свойства сопряженности для комплексных
чисел и условие
симметричности матрицы А, получим
.
(4)
Лемма доказана.
Теорема (критерий симметричности линейного оператора). Линейный оператор симметричен тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов этого линейного оператора.
Достаточность почти очевидна: если в Е существует ортонормированный базис е1,…,еп, составленный из собственных векторов линейного оператора , то еi = iei, i = 1,…,n, из чего следует, что матрица линейного оператора в данном базисе диагональна, то есть симметрична, а потому определяет симметрический оператор.
Доказывать необходимость теоремы будем по индукции. Для одномерного евклидова пространства утверждение верно, так как в таком пространстве все линейные операторы симметрические и все векторы собственные. Выбрав любой ненулевой вектор и нормировав его, мы получим ортонормированный базис, составленный из собственных векторов.
Будем считать теорему справедливой для симметрических операторов в (п-1) - мерных евклидовых пространствах. Рассмотрим в п-мерном евклидовом пространстве Е симметрический линейный оператор . Корни его характеристического многочлена, являясь корнями симметрической матрицы в некотором ортонормированном базисе, действительны и служат собственными значениями оператора . Пусть а – собственный вектор линейного оператора , относящийся к некоторому собственному значению 0 . Нормировав его, получим единичный собственный вектор еп, такой, что
еп = 0еп. (5)
Дополним систему из одного вектора еп векторами f1,…,fn-1 до ортонормированного базиса пространства Е и рассмотрим L = = <f1,…,fn-1>. Нетрудно видеть, что L = {x (x,en) = 0}. Действительно, если
х = x1f1+…+ xn-1fn-1+ xnen, (6)
то
(х,еп) = 0 хп = 0 х<f1,…,fn-1> = L. (7)
Заметим, что линейную оболочку L мы можем рассматривать как (п-1) - мерное евклидово пространство, так как скалярное произведение, заданное в пространстве Е, определено и в подпространстве LE. Линейный оператор можно считать линейным оператором пространства L, так как для любого хL xL в силу равенства (х,еп) = (х,еп) = 0(х,еп) = 0.
Далее, линейный оператор , рассматриваемый как оператор пространства L, является в L симметрическим, так как равенство (х,у) = (х,у), справедливое для всех векторов пространства Е, будет справедливым и для векторов из L.
По предположению индукции, в L существует ортонормированный базис е1,…,еп-1, составленный из собственных векторов линейного оператора . Присоединяя к нему вектор еп, получим ортонормированный базис пространства Е, составленный из собственных векторов оператора .