§ 8. Ортогональный линейный оператор

Определение. Линейный оператор  евклидова пространства Е называется ортогональным, если для любых векторов х и у из Е

(х,у) = (х,у). (1)

Заметим, что ортогональный оператор  можно определить с помощью сопряженного оператора ^ как такой оператор, для которого

^ = ^-1. (2)

В самом деле, записав условие сопряженности операторов  и ^ для векторов х и у, получим (х,у) = (х,^у), откуда видим, что равенство (1) может быть выполненным для оператора  в том и только в том случае, когда ^ = ^-1.

Отметим простейшие следствия из определения.

Следствие 1. Если   ортогональный оператор, то образы всех векторов любого ортонормированного базиса образуют ортонормированный базис.

Действительно, если е₁,…,е_п  ортонормированный базис, а е₁,…,е_п – образы векторов этого базиса, то (е_i,e_j) = (e_i,e_j) = _ij , i,j =1,2,…n, что и требовалось доказать.

Следствие 2. Матрица ортогонального оператора в любом ортонормированном базисе ортогональна.

Если А_  матрица оператора  в ортонормированном базисе е₁,…,е_п, то ее можно считать матрицей перехода от ортонормированного базиса е₁,…, е_п к ортонормированному базису е₁,…,е_п и, следовательно, она ортогональна.

Следствие 3. Произведение ортогональных операторов является ортогональным оператором.

Если операторы  и  ортогональны, то (х, у) = (х,у) = = (х,у).

Теорема 1. Линейный оператор ортогонален тогда и только тогда, когда длина любого вектора равна длине его образа.

Необходимость условия следует из (1) при у = х, так как из равенства х² = х² сразу получаем, что х  х.

Достаточность. Пусть дано, что для произвольного вектора z справедливо z = z. Положим z = x+y, где х, у  любые векторы из Е. Тогда (х+у)² = х+у², или, что то же самое, (х+у,х+у) = = (х+у,х+у). Используя свойства скалярного произведения и определение длины, перепишем эти равенства в виде

х² + 2(х,у) + у² = х² + 2(х,у) + у². (3)

Так как в этом равенстве х = х, а у = у, то (х,у) = (х,у).

Теорема 2. Если линейный оператор  отображает хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный базис, то оператор  – ортогональный.

Доказательство. Пусть е₁,…,е_п  такой ортонормированный базис, который отображается в ортонормированный е₁,…,е_п. Возьмем два произвольных вектора

х = х₁е₁+…+х_пе_п и у = у₁е₁ +…+ у_пе_п, (4)

тогда

х = х₁е₁+…+х_пе_п и у =у₁е₁+…+ у_пе_п. (5)

Так как базисы e_i, i = 1,…,n и e_i, i = 1,…,n  ортонормированные, то по теореме 3 § 2 данной главы (х,у) = х₁у₁ +…+ х_пу_п и (х,у) = = х₁у₁+…+х_пу_п, и потому (х,у) = (х,у).

Теорема 3. Если матрица линейного оператора  ортогональна хотя бы в одном ортонормированном базисе, то оператор  ортогонален. Доказательство. Пусть линейный оператор  в данном ортонормированном базисе е₁,…,е_п имеет ортогональную матрицу Q = q_ij. Тогда е_i = e_k, e_j = e_m. Вычислим скалярное произведение этих векторов:

(е_i,e_j) = (e_k,e_m) = = . (6)

Из ортогональности матрицы Q следует (см. формулу (4) §3), что , и тогда (e_i,e_j) = _ij, что означает ортонормированность образов векторов данного базиса. По теореме 2 заключаем, что   ортогональный оператор.