§ 2. Линейная зависимость. Лемма о двух системах векторов

Пусть дана система векторов

а₁, а₂,…,а_s (1)

и набор чисел из поля Р

₁, ₂, …,_s . (2)

Определение 1. Вектор

₁а₁ + ₂а₂ +…+ _sa_s (3)

называется линейной комбинацией векторов системы (1), а числа (2) – коэффициентами этой линейной комбинации. Если все коэффициенты линейной комбинации  нули, то линейная комбинация называется тривиальной.

Если какой-либо вектор равен линейной комбинации векторов системы (1),то говорят, что он линейно выражается через эту систему.

Очевидно, тривиальная комбинация всегда равна нулю. Поставим вопрос: можно ли подобрать коэффициенты линейной комбинации так, чтобы нетривиальная комбинация данной системы векторов была равна нулю? Оказывается, это зависит от данной системы векторов, а не от нашего умения подбирать коэффициенты линейной комбинации.

Определение 2. Система векторов называется линейно независимой, если только тривиальная комбинация этих векторов равна нулю, и называется линейно зависимой в противном случае.

Иными словами, линейная независимость системы (1) означает, что

₁а₁+₂а₂+…+_sa_s= 0  ₁= ₂=…= _s= 0. (4)

Отметим простейшие следствия из определения 2.

1⁰. Всякая система векторов, содержащая 0, линейно зависима.

В самом деле, если, например, в системе (1) вектор а₁= 0, то линейная комбинация (3) при ₁= 1, ₂= ₃=…= _s= 0 будет не тривиальной, но равной 0.

2⁰.Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

Покажем это. Пусть векторы а₁,а₂,…,а_k, где k<s, образуют линейно зависимую подсистему системы (1). Тогда существуют такие числа ₁,…,_k, не все равные нулю, что справедливо равенство ₁а₁+…+_ka_k = 0. Приписав к левой части этого равенства слагаемое 0a_k+1+…+0a_s, мы увидим, что нетривиальная линейная комбинация всей системы векторов равна нулю, что и означает линейную зависимость системы.

Заметим, что доказанному свойству можно дать такую формулировку: если система векторов линейно независима, то и всякая ее подсистема линейно независима.

3⁰. (Критерий линейной зависимости). Система из более чем одного векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов этой системы линейно выражается через остальные.

Доказательство. Необходимость. Пусть система векторов (1), где s>1, линейно зависима. Тогда существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная 0, то есть выполняется равенство

₁a₁+ ₂a₂ +…+ _sa_s= 0, (5)

и среди коэффициентов хотя бы один, например _1, не равен нулю. Разделив обе части этого равенства на _1, перепишем его в виде a₁ = - a₂- …- a_s, что и требовалось доказать.

Достаточность. Пусть, например, вектор а₁ линейно выражается через остальные, то есть а₁ = ₂а₂+…+_Sa_s. Переписав это равенство в виде

(-1)а₁+₂а₂+…+_sa_s = 0, мы видим, что линейная комбинация системы векторов не тривиальна (-1 0) и равна 0, что означает линейную зависимость векторов.

4⁰. Если система векторов а₁,…,a_s, а линейно зависима, а ее подсистема a₁,…,a_s линейно независима, то вектор а выражается единственным образом через эту подсистему.

Докажем это утверждение. В силу линейной зависимости системы найдутся такие числа ₁,…,_s, , не все равные нулю, что будет справедливо равенство

₁a₁+…+ _sa_s + a = 0. (6)

Оказывается, что в этом случае 0, иначе мы имели бы нетривиальную нулевую комбинацию векторов подсистемы, что противоречит ее линейной независимости. Разделив обе части равенства (6) на число , мы выразим вектор а через векторы подсистемы.

Докажем единственность. Пусть будет два разложения вектора а: a = x₁a₁+…+x_sa_s и a = y₁a₁+…+y_sa_s. Вычитая из первого равенства второе, получим (x₁-y₁)a₁+…+(x_s-y_s)a_s = 0, откуда следует в силу линейной независимости подсистемы, что x₁-y₁= 0, …, x_s-y_s= 0.

Лемма о двух системах векторов. Если система векторов b₁,…,b_m линейно независима, и каждый вектор этой системы линейно выражается через систему a₁,…,a_k, то m  k.

Доказательство. По условию леммы имеем

b₁= ₁₁a₁+…+_1ka_k,

…………………… (7)

b_m=_m1a₁+…+_mka_k.

Составим матрицу

А = (8)

Предположим противное, что m>k. Так как известно, что ранг r матрицы А не больше числа ее строк и не больше числа ее столбцов, то m>r. Это значит, что между строками матрицы А существует линейная зависимость, которую мы запишем в виде

₁(_11,…,_1k) + …+ _m(_m1,…,_mk) = (0,…,0), (9)

где среди чисел ₁,…,_m есть отличные от нуля.

Умножим теперь равенства (7) соответственно на числа ₁,…,_m и сложим их почленно. Учитывая линейную зависимость (9), найдем

₁b₁+…+ _mb_m= (₁₁₁+…+ _m_m1)a₁+…+ (₁_1k+…+ _m_mk)a_k =

= 0a₁+…+0a_k = 0. (10)

Равенство (10) говорит о том, что система векторов b₁,…,b_m линейно зависима, что противоречит условию.

Пример. В пространстве квадратных матриц порядка 2 проверить линейную зависимость системы матриц

Для данных матриц очевидна линейная комбинация

C = 2A + B или 2A + B – C =0, т. о. система линейна зависима.