Глава 4. Евклидовы пространства. Линейные операторы и квадратичные формы в евклидовых пространствах

§ 1. Евклидовы пространства. Основные понятия

Определение 1. Евклидовым пространством называется векторное пространство Е над полем действительных чисел, если в нем задана билинейная симметрическая форма В, порождающая положительно определенную квадратичную форму.

Сама билинейная форма В называется скалярным произведением, а скалярным произведением двух векторов х и у называется значение билинейной формы на этих векторах, то есть В(х,у). По традиции, в евклидовых пространствах принято обозначать не В(х,у), а (х,у).

Пример 1. В множестве свободных геометрических векторов ( направленных отрезков) введем скалярную функцию от двух векторных аргументов формулой (х,у) = хуcos(x,y).

Из свойств этой функции, которая рассматривалась в аналитической геометрии, следует, что она является скалярным произведением.

Пример 2. В арифметическом п-мерном пространстве Rⁿ для двух векторов х=(х₁,…,х_п) и у=(у₁,…,у_п) положим (х,у)=х₁у₁+х₂у₂+…+х_пу_п. Легко проверить, что функция (х,у) является скалярным произведением.

Пример 3. В векторном пространстве R(a,b) непрерывных действительных функций, заданных на промежутке [a,b], зададим функцию (f,g) = . Используя свойства интеграла, убеждаемся, что данная функция является скалярным произведением.

Определение 2. Длиной вектора х называется число х = .

Из свойств скалярного произведения и определения 2 следует, что длина вектора обладает следующими свойствами:

1) х = 0  х = 0; 2) х = х .

Теорема. В евклидовом пространстве справедливо неравенство Коши-Буняковского

(х,у)²  (х,х)(у,у). (1)

Доказательство. Из свойств скалярного произведения следует, что для любого параметра t и векторов х, у справедливо неравенство

(tx-y,tx-y)  0. (2)

Преобразовав левую часть неравенства (2), получим

t²(x,x)  2t(x,y) +(y,y)  0. (3)

Левая часть неравенства (3) представляет собой квадратный трехчлен с положительным коэффициентом при квадрате переменного. Так как при любом t трехчлен не отрицателен, его дискриминант не больше нуля, то есть

(х,у)² – (х,х)(у,у)  0, (4)

но это неравенство эквивалентно неравенству Коши-Буняковского.

Заметим, что из (1) следует, что (х,у)  ху, а учитывая, что (х,у)  (х,у), получим

(х,у)  ху. (5)

Учитывая вышесказанное, мы можем дать следующее корректное определение.

Определение 3. Углом между ненулевыми векторами х и у называется угол , 0   , определяемый формулой

cos = . (6)

Отметим простейшие следствия из неравенства Коши-Буняковского.

Следствие 1. х+у  х + у.

В самом деле,

х+у² = (х+у,х+у) =(х,х) + 2(х,у) + (у,у) х² + 2ху + у² =(х + у)², откуда и следует наше утверждение.

Следствие 2. (х,у)² = (х,х)(у,у)  у = t₀x,

где t₀  некоторое действительное число.

Необходимость. Пусть дискриминант трехчлена, стоящего в левой части неравенства (3), равен нулю. Тогда квадратный трехчлен имеет единственный двукратный корень t₀ и, следовательно, выполняется тождество

(х,х)  2 (x,y) + (x,y) = 0. (7)

Равенство (7) можно переписать в виде

( x - y, x - y) =0,

откуда и следует, что х - у = 0.

Достаточность следует из того, что если мы внесем значение вектора у = х в равенство (х,у)² = (х,х)(у,у), то получим тождество.