§10. Теорема о паре квадратичных форм

Пусть в векторном (не евклидовом!) пространстве V над полем R действительных чисел заданы две квадратичных формы: K и G. Нам известно, что для каждой квадратичной формы в векторном пространстве найдется, и не единственный, канонический базис. Поставим вопрос: существует ли базис, являющийся каноническим для обеих форм? Ответ в общем случае отрицательный, но если одна из квадратичных форм положительно определена, то ответ положителен. Докажем это. Предварительно убедимся, что верна

Лемма. Пусть в евклидовом пространстве Е в некотором ортонормированном базисе квадратичная форма G имеет вид

G(x) = (1)

Тогда она имеет такой же вид в любом ортонормированном базисе.

Доказательство. Пусть квадратичная форма G имеет вид (1) в данном ортонормированном базисе е₁,…,е_п. Матрица этой квадратичной формы в данном базисе равна единичной матрице Е. Если е₁,…,е_п  новый ортонормированный базис, то матрица перехода Q к новому базису является ортогональной. Как известно, матрица квадратичной формы G в новом базисе будет иметь вид Q^tEQ = = Q^tQ = E. Это значит, что и в новом базисе квадратичная форма будет представлять собой сумму квадратов всех координат, то есть иметь вид (1).

Теорема. Пусть в векторном пространстве V над полем действительных чисел даны две квадратичные формы K и G, из которых G – положительно определенная. Тогда существует такой базис, в котором форма G принимает нормальный вид, а форма К – канонический.

Доказательство. Как мы отметили в § 5 главы 3, для любой квадратичной формы существует базис, в котором она принимает нормальный вид. Выберем такой базис е₁,…,е_п для формы G, тогда она примет вид (1). Билинейная форма В, которая порождает квадратичную G, имеет, очевидно, вид

В(х,у) = x₁y₁+ x₂y₂+…+ x_ny_n (2)

Объявим билинейную форму В скалярным произведением, превратив векторное пространство V в евклидово пространство Е. При таком скалярном произведении наш выбранный базис е₁,…,е_п, как следует из теоремы 3 § 2 данной главы, будет ортонормированным. Теперь в построенном евклидовом пространстве выберем ортонормированный канонический базис для формы К. Так как по лемме квадратичная форма G и в этом базисе будет иметь нормальный вид, то выбранный базис – искомый и теорема доказана.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Скалярное произведение в векторном пространстве действительных квадратных матриц второго порядка задано формулой (A,B) =trAB^t, где B^t – транспонированная матрица В. Чему равен угол между матрицами и ?

2. В векторном пространстве R² даны два скалярных произведения:

а) (х,у) = х₁у₁-х₁у₂-х₂у₁+2х₂у₂; б) (х,у)=2х₁у₁+3х₂у₂.

В каком скалярном произведении векторы (1,0) и (0,1) ортогональны?

3. Дано, что у векторов х и у длины равны. Будут ли векторы х+у и х-у ортогональны?

4. Можно ли назвать скалярным произведением геометрических векторов произведение их длин?

5. В трехмерном подпространстве пространства R⁴, натянутом на векторы (1,2,1,3), (4,1,1,1), (3,1,1,0), построить ортогональный базис методом ортогонализации Шмидта.

6. Известно, что линейный оператор в некотором ортонормированном базисе имеет диагональную матрицу. Как называется такой линейный оператор?

7. Какой должна быть матрица перехода к новому базису, чтобы матрица линейного оператора и матрица квадратичной формы изменялись по одному закону?

8. Для какого линейного оператора длина вектора совпадает с длиной его образа?

9. Пусть φ  симметрический линейный оператор евклидова пространства, а А и В  соответственно ядро и образ этого линейного оператора. Доказать, что ортогональные дополнения для А и В являются соответственно образом и ядром этого оператора.

10. Доказать, что ортогональный симметрический оператор φ является инволюцией, то есть удовлетворяет условию φ² = ε, где ε  тождественный оператор.