Глава 2. Линейные операторы
§ 1. Линейный оператор. Матрица линейного оператора
Пусть дано отображение :VV, где V – n-мерное векторное пространство над полем Р.
Образ вектора х при отображении договоримся записывать не в привычном виде (х), а в виде х, так как это общеизвестный «операторный» способ обозначения. Можно напомнить и то, что при работе с конкретными функциями и в школе, и в вузе аргумент не выделяют скобками: пишут logx, а не log(x), tgx, а не tg(x) и т. п.
Определение 1. Линейным оператором называется отображение :VV, такое, что для любых векторов x и y из V и любого числа из Р выполняются условия линейности, то есть
(x+y) = x + y, (1)
(x) = x (2)
Наряду с названием линейный оператор употребляются следующие названия: векторная линейная функция, линейное преобразование, автоморфизм, аффинор, линейный функционал. В последние годы термин линейный оператор становится более употребительным.
Заметим, что условия (1) и (2) в определении 1 можно заменить одним условием (х + у) = х + у, где , любые числа из поля Р.
Отметим простейшие следствия из определения.
10. 0 = 0, что следует из (2) при =0.
20. (-х) = -х. Это свойство также вытекает из (2) при = -1.
30. Образ линейной комбинации есть линейная комбинация образов, то есть для любых векторов x1,…,xp и любых чисел 1,…,p справедливо равенство
(1x1 +…+ pxp) = 1x1 + …+ pxp.
Теорема. Существует единственный линейный оператор :VV, который данный базис e1,…,en отображает в данную упорядоченную систему векторов c1,…,cn.
Доказательство. Пусть дан базис и любая упорядоченная система векторов. Зададим отображение следующим образом: каждому вектору x = x1e1+…+ xnen поставим в соответствие вектор х = = x1c1+…+ xncn. Очевидно, с учетом теоремы 2 § 3 главы 1, построенное отображение удовлетворяет условиям линейности, причем ei = ci, i=1,…,n. Для доказательства единственности предположим, что наряду с линейным оператором существует ещё один линейный оператор , такой, что ei = ci, i=1,…,n. Тогда хV будем иметь x = (x1e1+…+xnen) = x1e1+…+ xnen = x1c1+…+xncn = = x1e1 +…+ xnen = (x1e1 +…+ xnen) = x. Так как х = х при всех векторах х из V, то = .
Доказанная теорема позволяет при данном базисе задавать линейный оператор системой из n векторов, являющихся образами базисных векторов. Положим
e1 = a11e1+…+a1nen,
……………………. (3)
en = an1e1+…+annen.
Определение 2. Пусть дан линейный оператор и некоторый базис e1,…,en. Матрица
А
=
,
(4)
каждый i-й (i=1,…,n) столбец которой составлен из координат образа i- го базисного вектора в этом же базисе, называется матрицей линейного оператора в этом базисе.
Из теоремы и определения 2 следует, что задание матрицы А в данном базисе определяет линейный оператор единственным образом.
Перепишем равенства (3) в матричном виде, положив e=(e1,…,en), e = (e1,…,en):
e = eA. (5)
Покажем, как, зная матрицу А линейного оператора в базисе e1,….,en, по координатам вектора х в этом базисе найти координаты его образа.
Пусть
y = x. (6)
Если векторы х и y разложить по базису, то можно переписать (6) в матричном виде:
e[y] = (e[x]), (7)
где [y] матрица-столбец из координат y1,…,yn вектора у, а [x] – матрица-столбец из координат x1,…,xn вектора х в базисе е. Так как
e[x] = x1e1+…+xnen,
то (е[x]) = (x1e1+…+ xnen) = x1e1+…+ xnen= e[x], то (7) можно переписать в виде e[y] = e[x]. Учитывая здесь (5), получим
e[у] = eA [x]. (8)
Учитывая единственность разложения векторов по базису, из (8) получаем
[y] = A [x]. (9)
В подробной записи (9) имеет вид
y1 = a11x1+…+an1xn,
................................. (10)
yn = a1nx1+…+annxn .
Пример. Пусть в некотором базисе пространства R3 заданы системы векторов:
a1 = (0, 0, 1), b1 = (2, 3, 5),
a2 = (0, 1, 1), b2 = (1, 0, 0),
a3 = (1, 1, 1); b3 = (0, 1, -1).
Найти в базисе a1, a2, a3 матрицу линейного оператора f, переводящего векторы a1, a2, a3 соответственно в векторы b1, b2, b3.
Решение. Векторы a1, a2, a3 составляют базис пространства. Значит, искомый оператор f существует и единственный. Для отыскания матрицы А оператора f в базисе a1, a2, a3 нужно найти линейные выражения векторов-образов b1, b2, b3 через векторы базиса a1, a2, a3. Производя необходимые вычисления, находим
fa1 = b1 = 2a1 + a2 + 2a3,
fa2 = b2 = - a2 + a3,
fa3 = b3 = -2a1 + a2.
Матрица линейного преобразования имеет вид:
