§ 5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Пусть в векторном пространстве V над полем Р задана квадратичная форма К.

Определение 1. Если в векторном пространстве V существует такой базис е₁,…,е_n, в котором квадратичная форма принимает вид

К(х) = , (1)

то этот вид, а также базис e₁,…,e_n, называется каноническим.

Заметим, что число отличных от нуля коэффициентов a₁₁,…,a_nn в (1) равно рангу r квадратичной формы, так как матрица этой квадратичной формы имеет диагональный вид и потому ранг ее совпадает с количеством ненулевых коэффициентов a_ii.

Теорема Лагранжа. Для любой квадратичной формы существует канонический базис.

Доказательство мы будем вести индукцией по размерности n векторного пространства V. При n = 1 любой базис можно считать каноническим, так как квадратичная форма имеет в этом случае вид К(х) = . Будем считать теорему справедливой для случая n-1 и докажем ее для n. Пусть в некотором базисе e₁,…, e_n квадратичная форма имеет вид

K(x) = . (2)

Рассмотрим первый случай, когда среди коэффициентов при квадратах координат вектора х найдется хоть один отличный от нуля. Пусть, например, a_nn  0. Составим выражение

. (3)

Нетрудно проверить, что это выражение содержит такие же слагаемые с координатой x_n, что и квадратичная форма (2). Это значит, что если мы вычтем из правой части (2) выражение (3), то получим некоторое алгебраическое выражение, не содержащее x_n, то есть

(4)

Откуда следует, что

K(x) = (5)

Сделаем переход к новому базису f₁,…,f_n, такому, что новые координаты y_i вектора х связаны со старыми координатами равенствами

y₁ = x_1, … , y_n-1 = x_n-1, y_n = a_n1x₁+…+a_nnx_n. (6)

В новом базисе квадратичная форма К запишется в виде

К(х) = g(y_1,…,y_n-1) + , (7)

где g(y₁,…,y_n-1) можно считать некоторой квадратичной формой К₁, заданной на подпространстве L = <f₁,…,f_n-1> размерности n-1 в базисе f₁,…,f_n-1. По индуктивному предположению, в L существует канонический базис этой квадратичной формы, и пусть формулы преобразования координат вектора при переходе к этому базису имеют вид:

z₁ = b₁₁y₁ +…+b_1n-1y_n-1,

……………………… (8)

z_n-1= b_n-11y₁+…+b_n-1n-1.

Тогда, еcли хL, то К₁(х) = g(y₁,…,y_n-1) = .

Присоединим к равенствам (8) равенство z_n= y_n. Тогда эти равенства можно понимать как преобразование координат при переходе к некоторому базису пространства V, в котором квадратичная форма будет иметь канонический вид

K(x) = . (9)

Рассмотрим второй случай, когда форма (2) в базисе е₁,…,е_п имеет такой вид, в котором все коэффициенты при квадратах координат вектора равны нулю, но хотя бы один коэффициент при произведениях различных координат, например а₁₂, отличен от нуля. Перейдем к такому новому базису, чтобы формулы преобразования координат имели вид

х₁ = у₁+у₂, х₂ = у₁-у₂, х₃ = у₃, … , х_п = у_п. (10)

Но тогда

К(х) = … +2 ,

то есть, по крайней мере, коэффициент при квадрате одной координаты вектора отличен от нуля, и мы можем применить к квадратичной форме вышеприведенные рассуждения.

Замечание 1. Канонический вид не единственный.

Замечание 2. Пусть квадратичная форма ранга r рассматривается в векторном пространстве над полем С комплексных чисел и имеет канонический вид (1). Тогда, с точностью до нумерации координат, можем считать, что а₁₁  0, …, а_rr  0, a_r+1r+1 = … =a_nn = 0. Перейдем к новому базису с формулами перехода:

…, у_r = …, y_n = x_n .

В этом случае квадратичная форма примет вид

К(х) = (11)

который мы будем называть нормальным.

Замечание 3. Пусть квадратичная форма ранга r задана в векторном пространстве над полем R действительных чисел и имеет канонический вид (1). Пусть, как в предыдущем случае, первые r коэффициентов отличны от нуля, причем a₁₁>0,…, a_pp>0, a_p+1p+1<0, …, a_rr<0, а остальные равны нулю. Перейдем к новому базису по формулам перехода:

…, …, …,

В этом случае квадратичная форма примет вид

К(х) = (12)

Этот вид мы тоже будем называть нормальным видом квадратичной формы в векторном пространстве над полем действительных чисел.

Из выше сказанного следует, что любую квадратичную форму, заданную в векторном пространстве над полем действительных или комплексных чисел, можно привести к нормальному виду.

Описанный в доказательстве теоремы метод приведения квадратичной формы к каноническому виду называется методом Лагранжа.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Решение. Объединяя в одну группу все члены, содержащие х₁, и дополняя сумму до полного квадрата, получаем:

где

Далее объединяем в одну группу все члены, содержащие х₂:

где