§ 5. Изоморфизм векторных пространств

Пусть даны векторные пространства V и V над одним и тем же полем Р.

Определение 1. Изоморфизмом векторных пространств V и V называется биекция : VV, такая, что для любых векторов a, b из V и любого числа  из Р

(a + b) = (a) + (b), (1)

(a) = (a). (2)

Если существует изоморфизм пространств V и V , то эти пространства называются изоморфными.

Докажем следующие простые свойства изоморфизмов векторных пространств.

1⁰. Если   изоморфизм, то и ^-1 – изоморфизм.

Действительно, найдем образы обеих частей равенств (1) и (2) при отображении ^-1, учитывая, что ^-1   тождественное преобразование:

a + b = ^-1((a) + (b)), (3)

a = ^-1((a)). (4)

Если ввести обозначения

(а) = а, (b) = b, a = ^-1(a), b = ^-1(b),

то эти равенства примут вид, аналогичный равенствам (1) и (2), а именно:

^-1(a) + ^-1(b) = ^-1(a + b), ^-1(a) = ^-1(a).

2^0. Образом нулевого вектора 0V при изоморфизме является нуль-вектор 0V.

Справедливость этого свойства сразу следует из (2) при  = 0.

3⁰. Образом противоположного вектора при изоморфизме является противоположный образ этого вектора, то есть (-а) = -(а).

Как и в предыдущем случае, справедливость этого утверждения сразу следует из (2) при  = -1.

4⁰. Если  и   изоморфизмы векторных пространств, то их композиция   также является изоморфизмом.

Справедливость этого утверждения вытекает из равенств:

 (a+b) = ((a+b)) = ((a)+(b)) =  (a) +  (b) и

 (а) = ((а)) = ((а)) =  (а).

5⁰. При изоморфизме образы линейно независимой системы векторов образуют линейно независимую систему.

Доказательство. Пусть а₁,…,a_s  линейно независимая система. Предположим противное, что образы векторов этой системы линейно зависимы, то есть существует равная нулю нетривиальная линейная комбинация

₁(a₁) +…+_s(a_s) = 0. (5)

Учитывая свойства изоморфизма 1⁰ и 2⁰ , заключаем, что ₁a₁+…+_sa_s = 0, что противоречит линейной независимости системы a₁,…,a_s.

Теорема. Все n-мерные векторные пространства над одним и тем же полем Р изоморфны между собой.

Доказательство. Пусть даны два n-мерных пространства V и V. Выберем в V базис e₁,…,e_n, а в V  базис e₁,…,e_n. Построим отображение :VV следующим образом: каждому вектору х из V , разлагающемуся по базису e₁,…,e_n в виде x = x₁e₁+…+x_ne_n, поставим в соответствие вектор (x) = x₁e₁+…+x_ne_n из V. С учетом теоремы 2 § 3 и определения изоморфизма заключаем, что   изоморфизм.

Заметим, что в алгебре изоморфные векторные пространства не считаются различными.

Пример. Пространство квадратных матриц порядка 2 с элементами из поля действительных чисел изоморфно арифметическому пространству строк длины 4 над тем же полем:

где