§ 7. Инвариантные подпространства

Пусть дано векторное пространство V над полем Р и :VV  линейный оператор.

Определение. Подпространство WV называется инвариантным относительно линейного оператора , если хW выполняется условие хW.

Приведем примеры инвариантных подпространств. Очевидно, тривиальные подпространства W={0} и W=V инвариантны относительно любого линейного оператора. Нетривиальными примерами инвариантных относительно линейного оператора  являются подпространства Im, Ker, а также подпространство V_, относящееся к собственному значению  линейного оператора . Проверка инвариантности этих подпространств предоставляется читателю.

Теорема 1. Сумма и пересечение двух инвариантных подпространств есть инвариантное подпространство.

В самом деле, пусть W₁ и W₂  инвариантные относительно  подпространства. Тогда х₁W₁ и x₂W₂, по определению имеем х₁W₁ и х₂W₂. Если мы возьмем любой вектор х из суммы этих подпространств, то х = х₁+х₂ и х = х₁+х₂ W₁+W₂, что и требовалось доказать. Если же вектор х принадлежит пересечению этих подпространств, то он принадлежит каждому подпространству, а, значит, его образ х принадлежит каждому из этих подпространств и потому принадлежит пересечению.

Замечание. Мы привели доказательство для случая суммы и пересечения двух подпространств, но легко видеть, что теорема справедлива для любой конечной суммы векторных подпространств и любого пересечения.

Пусть нам дано вещественное векторное пространство V, то есть векторное пространство над полем действительных чисел.

Теорема 2. В вещественном векторном пространстве размерности n ≥ 3 для любого линейного оператора существует хотя бы одно одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Доказательство. Если характеристический многочлен линейного оператора имеет вещественный корень, то для него, как следует из доказательства теоремы 3 предыдущего параграфа, найдется, по крайней мере один, собственный вектор, а тогда натянутое на этот вектор подпространство инвариантно, и имеет размерность 1.

Пусть характеристический многочлен не имеет вещественных корней. По основной теореме алгебры комплексных чисел этот многочлен имеет хотя бы один комплексный корень  =  i. Подставим значение этого корня в систему (9) § 6 данной главы

A_φ - ( +i)Е[x] = 0, (1)

и пусть

[c] = [u] + i[v], (2)

где [c], [u], [v]  матрицы-столбцы из n чисел, является решением этой системы. Из тождества

А_φ- (i)E([u] + i[v]) = 0, (3) приравнивая нулю действительные и мнимые части, получим: A_φ[u] = [u] - [v], A_φ[v] = [u] + [v] (4)

Обозначим u, v – векторы, имеющие своими координатами наборы чисел [u] и [v] соответственно. Тогда равенства (4) являются координатной записью равенств

φu = u - v, φv = u -v. (5)

Векторы u и v линейно независимы, так как в противном случае мы имели бы, что v = u, и из первого равенства в (5) получили бы φu = ( - )u. Но это равенство говорит о том, что оператор обладает собственным вектором с действительным собственным значением, что противоречит нашему предположению.

Пространство, натянутое на векторы u и v, двумерно и инвариантно относительно оператора φ, так как образ любой линейной комбинации этих векторов снова выражается через эти же векторы в силу (5). Теорема доказана.

Если известно хотя бы одно инвариантное относительно  подпространство W, то можно подобрать такой базис, что матрица линейного оператора  примет более простой вид по сравнению с общим случаем, что имеет немаловажное значение при конкретных расчетах. В самом деле, если dimW = m, то выберем базис всего пространства так: сначала выберем базис е₁,…,e_m подпространства W, а потом дополним его векторами e_m+1,…,e_n до базиса всего пространства V. Тогда e₁= ₁₁e₁+…+_1me_m,…,e_m = _m1e₁+…+_mme_m и матрица линейного оператора в этом базисе будет, очевидно, иметь вид

А_ = ,

где А – блок порядка m m, столбцы которого составлены из координат векторов е₁,…,е_m в базисе подпространства W, О – блок порядка m(n-m), состоящий из нулей, В и С  некоторые блоки порядков (n-m)m и (n-m)(n-m) соответственно.

Пример. Линейный оператор  пространства R³ задан в некотором базисе матрицей

Проверить, что подпространство W = <(1, 0, 1), (0, 1, 0)> инвариантно.

Решение.

Каждый вектор x из подпространства W имеет вид (α, β, α). Найдем (x):

Получили, что Следовательно, W  инвариантное подпространство.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть в множестве всех векторов на плоскости, отложенных из одно точки, выбран базис е₁, е₂. Линейный оператор   проектирование векторов на е₁ параллельно е₂. Найти матрицу этого линейного оператора в выбранном базисе.

2. Пусть на множестве всех векторов, лежащих в плоскости, линейный оператор  задан формулой х = (а,х)а. Найти его матрицу в декартовом базисе е₁,е₂, если вектор а имеет в этом базисе координаты (0,1).

3. В некотором базисе матрица линейного оператора имеет вид . Найти образ вектора х = (х₁, х₂).

4. Пусть пространство V₂ – множество геометрических векторов, лежащих в плоскости, е₁ и е₂ – правый декартов базис, а линейный оператор  осуществляет поворот векторов на 90 ⁰ против часовой стрелки. Найти матрицу линейного оператора в данном базисе.

5. Линейный оператор  задан в обычном трехмерном пространстве формулой

х = (a,x)b

Найти ядро этого линейного оператора.

6. Пусть е₁, е₂, е₃ – базис обычного трехмерного пространства, выходящий из одной точки. Линейный оператор   проектирование векторов на е₁ параллельно <e₂,e₃>. Найти образ этого линейного оператора.

7. Как изменится матрица линейного оператора, если в базисе переставить местами два базисных вектора е₁ и е₂?

8. Матрица линейного оператора имеет в некотором базисе вид

Чему равен дефект этого линейного оператора?

9. Линейный оператор  задан формулой х = 5х. Имеет ли этот оператор собственные векторы и если да, то какие?

10. Дано пространство векторов на плоскости, выходящих из одной точки. Линейный оператор   поворот на 45⁰ по часовой стрелке. Имеет ли этот оператор собственные векторы, и, если да, то какие?

11. Будет ли инвариантным подпространство, натянутое на собственные векторы?

12. Пусть Р – трехмерное пространство геометрических векторов. Является ли линейным оператором этого пространства функция φ, заданная формулой φх = [a,x]b, где а, b  постоянные векторы?

13. Составить матрицу линейного оператора φ, переводящего векторы а₁ = (0,0,1), а₂ = (0,1,1), а₃ = (1,1,1) соответственно в векторы b₁ = (2,3,5), b₂ = (1,0,0), b₃ = (0,1,-1) в базисе а₁,а₂,а₃.

14. Какую размерность имеет векторное пространство L(V) всех линейных операторов n-мерного векторного пространства V?

15. Характеристический многочлен линейного оператора имеет ровно n попарно различных корней. Доказать, что относительно этого оператора имеется 2ⁿ инвариантных подпространств, включая нулевое подпространство и все пространство.

16. Существуют ли такие линейные операторы, у которых нет ядра (то есть ядро – пустое множество)?