§3. Связь между матрицами билинейной формы

в различных базисах

Пусть в векторном пространстве V задана билинейная форма, которую в некотором базисе e = (e₁,…,e_n) можно записать в матричном виде

В(х,у) = [x]^tA_B[y], (1)

где [x] и [y] –матрицы-столбцы, составленные из координат векторов х и у в базисе е₁,…,е_n.

Пусть дан другой базис е= (e₁,…, e_n) и пусть е= еТ, где Т – матрица перехода от базиса е к базису е. Тогда координаты векторов в различных базисах связаны соотношениями (см.§ 4 главы 1)

[x] = T[x], [y] = T[y]. (2)

Запишем билинейную форму в матричном виде в базисе е:

B(x,y) = [x]^tA_В[y], (3)

где А_В – матрицы билинейной формы в базисе е. Внесем значения [x] и [y] из (2) в (1), тогда получим

B(x,y) = [x]^t T^tA_BT[y]. (4)

Сравнивая (3) и (4), заключаем, что связь между матрицами билинейной формы в различных базисах имеет вид

А_B = T^tA_BT. (5)

Сделаем простейшие выводы из соотношения (5).

1) Так как матрица Т невырожденная, а ранг произведения данной матрицы на невырожденную равен рангу данной матрицы, то rangA_B = rangA_B. Это значит, что ранг матрицы билинейной формы не зависит от выбора базиса, а зависит только от самой билинейной формы. Поэтому будет корректным следующее

Определение. Рангом билинейной формы называется ранг ее матрицы в некотором базисе. Билинейная форма называется невырожденной, если ее матрица  невырожденная, и вырожденной в противном случае.

2) Рассмотрим определители матриц, стоящих в левой и правой частях равенства (5):

А_B = T^tA_BT= A_BT². (6)

Если векторное пространство рассматривается над полем R действительных чисел, тоТ² >0 и, следовательно, знак определителя матрицы билинейной формы не зависит от выбора базиса.

§4. Квадратичная форма

Определение 1. Квадратичной формой, порожденной симметри- ческой билинейной формой В, называется скалярная функция К от одного векторного аргумента, определенная формулой К(х) = В(х,х).

Из (5) §2 следует, что при выбранном базисе квадратичная форма может быть задана в виде

K(x) = , (1)

где a_ij = a_ji.

Теорема. Для любой квадратичной формы существует единственная порождающая ее симметрическая билинейная форма.

Доказательство. Пусть дана квадратичная форма К. Пусть В  неизвестная нам билинейная симметрическая форма, которая порождает квадратичную форму К. Тогда

К(х+у) = В(х+у, х+у) = В(х,х) + В(х,у) + В(у,х) + В(у,у) =

= К(х) +2В(х,у) +К(у). (2)

Из (2) следует

В(х,у) = { -К(х) -К(у) +К(х+у)}. (3)

Формула (3) показывает, как по квадратичной форме можно построить порождающую ее билинейную форму. Единственность следует из ее построения: если предположить, что квадратичную форму К порождает билинейная форма В, то, проделав те же операции, что и для билинейной формы В, мы получим ее представление в виде (3), что будет означать, что В' = В.

Определение 2. Матрицей А_К квадратичной формы в данном базисе называется матрица порождающей эту форму билинейной симметрической формы. Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы в некотором базисе.

Из определения следует, что при переходе к другому базису с матрицей Т матрица квадратичной формы преобразуется по формуле

А'_К = T^tA_KT. (4)

Если же областью определения квадратичной формы является векторное пространство над полем R действительных чисел, то знак определителя ее матрицы не зависит от выбора базиса.

Пример. Составить матрицу квадратичной формы

К(x)=

Учитывая, что матрица симметричная и что а_ij = a_ji, составляем матрицу