§ 6. Подпространства векторного пространства. Способы

задания подпространств

Пусть дано векторное пространство V над полем Р.

Определение 1. Подпространством векторного пространства V называется подмножество W V, которое само является векторным пространством относительно заданных в V операций сложения и умножения на числа.

Теорема 1. Чтобы непустое подмножество W векторного пространства V было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы для любых векторов a и b из W и любого числа  из поля Р выполнялись условия

a + b W, (1)

a W. (2)

Доказательство. Необходимость. Если W – подпространство, то (1) и (2) обязаны выполняться по определению операции сложения и умножения на числа в множестве W.

Достаточность. Пусть в подмножестве W выполнены условия (1) и (2). Чтобы W само являлось векторным пространством, должны выполняться условия 1-8 определения 1 §1.

Из (2) при  = 0 и  = -1 следует, что 0W и -аW, что означает выполнение условий 2 и 3, входящих в определение векторного пространства. Что касается остальных шести условий, то они в W очевидно выполняются, так как WV.

Тривиальными примерами подпространств любого векторного пространства V могут служить подмножества W = {0} и W = V. Нетривиальные примеры подпространств читатель легко может построить сам после знакомства со способами задания подпространств, к изложению которых мы приступаем. Предварительно дадим

Определение 2. Линейной оболочкой системы векторов a₁,…,a_k называется множество L всех линейных комбинаций этих векторов.

Теорема 2. Линейная оболочка системы векторов является векторным подпространством.

В самом деле, и сумма линейных комбинаций, и произведение линейной комбинации на число снова будет линейной комбинацией, поэтому утверждение теоремы справедливо в силу теоремы 1.

Очевидно, что система векторов a₁,…,a_k является системой образующих, или, что то же самое, порождающей системой линейной оболочки L, то есть L= <a₁,…,a_k>. Говорят также, что подпространство L натянуто на векторы a₁,…,a_k. Из теоремы 2 следует первый способ задания подпространств:

каждое подпространство может быть задано системой образующих.

Замечание. Выбрасывая из системы a₁,…,a_k те векторы, которые линейно зависят от предыдущих, мы получим независимую систему образующих a₁,…,a_m, которая является базисом их линейной оболочки L. В этом случае каждый вектор xL представим в виде

x = t₁a₁+…+t_m a_m. (3)

Равенство (3) иногда называют параметрическим уравнением подпространства L, а числа t₁,…, t_m – параметрами.

Прежде чем описывать второй способ задания подпространств, рассмотрим систему линейных однородных уравнений с n неизвестными ранга r = n-m вида

(4)

Заметим, что в n-мерном векторном пространстве V с выбором базиса устанавливается биекция между векторами из V и их координатами, что позволяет отождествить каждое решение системы (4) с вектором из V, а множество всех решений – с некоторым множеством WV. С учетом этого замечания сформулируем следующие теоремы.

Теорема 3. Множество W всех решений однородной системы линейных уравнений (4) ранга r = n-m является m-мерным подпространством пространства V.

В самом деле, известно, что как сумма решений, так и произведение числа на решение снова является решением, поэтому по теореме 1 множество W – подпространство. Известно также, что любое решение линейно выражается через фундаментальную систему решений. Так как эта система линейно независима, то она является базисом W, а поскольку число решений в этой системе равно n-r = m, то dimW = m.

Теорема 4. Любое m-мерное подпространство W n-мерного векторного пространства V может быть задано системой линейных однородных уравнений ранга n-m.

Доказательство. Пусть в векторном пространстве V задано подпространство W. Выберем в V и W соответственно базисы e₁,…,e_n и f₁,…,f_m, дополним базис W векторами f_m+1,…,f_n до базиса пространства V и обозначим e = (e₁,…,e_n), f = (f₁,…,f_n). Положим e = fA, где

A = (5)

 матрица перехода от базиса f базису e. Если обозначить x₁,…,x_n  координаты любого вектора х в базисе е, а y₁,…,y_n  координаты этого же вектора в базисе f, то формулы перехода будут иметь вид

y₁= a₁₁x₁ +…+a_1nx_n,

………………….. (6)

y_n= a_n1x₁ +…+a_nnx_n.

Из разложения вектора х по базису f₁,…,f_n

x = y₁f₁ +…+ y_mf_m + y_m+1f_m+1+…+ y_nf_n, (7)

следует, что вектор х принадлежит подпространству W тогда и только тогда, когда

y_m+1 = 0, …, y_n = 0. (8)

Если в (8) заменить y_m+1,…,y_n их выражениями из (6), то получим систему вида (4).

Из теорем 3 и 4 следует второй способ задания подпространств: каждое подпространство может быть задано системой линейных однородных уравнений.