10.4. Изгиб с кручением. Расчет круглого вала

Одновременное действие изгиба с кручением не является характерным случаем сложного сопротивления для строительных конструкций. Это более типично для различных деталей машин, например: коленчатый вал, который воспринимает крутящий момент в сочетании с изгибом, или оси моторных вагонов и т.д.

Совместное действие изгиба и кручения является наиболее характерным случаем загружения круглого вала. Рассмотрим вал, подвергающийся изгибу в 2-х плоскостях под воздействием сил Р_х и Р_у, и кручению под воздействием крутящего момента М_кр.

Под действием указанных нагрузок в опасном сечении вала возникнут (рис. 10.11):

- нормальные напряжения от изгиба в вертикальной и горизонтальной плоскости:

σ_z(M_x) = σ_z(M_y) =

- касательные напряжения: τ_кр(M_кр) .

Для упрощения анализа рассматриваемого воздействия и в силу симметричности рассматриваемого сечения относительно осей х и у (W_x = W_y = W_и момент сопротивления при изгибе).

Определим максимальные нормальные напряжения от действия результирующего изгибающего момента М_р

σ_max = (10.16)

Определим эквивалентный расчетный момент по III теории прочности:

Учитывая, что

W_x = W_y = W = W_ρ / 2

получим:

(10.17)

Аналогично по IV теории прочности с учетом необходимых преобразований найдем

(10.18)

Далее условие прочности можно записать, как

σ_расч = ≤ R (10.19)

отсюда

W_тр ≥

а диаметр вала

(10.20)

Модуль 11. Продольно-поперечный изгиб и устойчивость сжатых стержней

11.1. Продольно-поперечный изгиб

И з самого названия напряженно-деформированного состояния следует, что стержень загружен не только поперечной, но и продольной нагрузкой, рис. 11.1.

Следовательно, продольно-поперечный изгиб – это вид деформации, когда на стержень одновременно действует продольная и поперечная нагрузка.

Поперечная нагрузка вызывает изгиб стержня, а продольная – в основном сжатие. Можно ли в этом случае вычислять напряжения по принципу суперпозиции

(11.1)

В случае весьма жестких стержней напряжения, вычисленные по формуле (11.1), будут достаточно достоверными, но в случае гибких стержней (с небольшой изгибной жестокостью) применение формулы (11.1) приведет к большой погрешности. Принцип суперпозиции при продольно-поперечном изгибе не применим, так как продольная сила в изогнутом стержне вызывает дополнительный изгиб Принцип суперпозиции – принцип независимости и сложения действия сил, заключающийся в том, что силовые фактор, напряжения и перемещения, т.е. все, кроме работы и потенциальной энергии, можно вычислять от каждой нагрузки отдельно и результаты складывать.

Для вычисления действительных напряжений дополнительный изгибающий момент нужно вычислять с учетам действительных прогибов, вызванных одновременный воздействием как поперечной так и продольной нагрузок. Задача сводится к вычислению этих перемещений, т.е. к определению уравнения изогнутой оси стержня. Наиболее эффективно при этом использовать метод начальных параметров.

Рассмотрим балку под действием продольной силы и любой поперечной нагрузки, рис. 11.1. Составим дифференциальное уравнение изогнутой оси

Обозначив через

(11.2)

получим

(11.3)

Решение этого уравнения представим в виде

Разыскивая частное решение y^* в виде полинома y^*=a+bz и подставляя его в исходное уравнение (11.3), способом неопределенных коэффициентов находим

, .

При этом уравнение (11.3) примет следующий вид

(11.4)

Отсюда дифференцированием можно получить уравнение углов поворота

, (11.5)

Выразим постоянные интегрирования А и В через начальные параметры из условий, что при z=0, y=y₀, . Из этих условий находим , или . Подставляя в уравнение (11.5) постоянные А и В, получим

. (11.6)

Если бы к балке была приложена только сила P₀, то уравнение изогнутой оси (11.3) имело бы вид

.

В случае загружения балки лишь одним моментом M₀

.

Здесь , , , - начальные параметры при отдельном загружении балки нагрузками и соответственно.

Отсюда следует, что к поперечной нагрузке можно применять принцип суперпозиции, но при каждом загружении нужно учитывать продольную силу.