15.13. Учет гармонической нагрузки в весомых балках
В случае гармонической силы P(t)=Psinθt в установившемся режиме вынужденных колебаний с частотой возмущения θ можно использовать метод начальных параметров с уравнением движения сечений (15.52) с одной гармоникой
.
(15.60)
Амплитудное
значение гармонической силы Р
в уравнении (15.60) учитывается слагаемым,
аналогичным слагаемому, содержащему
Р0,
т.е. слагаемым
на участках справа от места приложения
возмущающей силы с координатой а.
П
ример
15.9. Консоль
с распределенной массой интенсивностью
m
и сосредоточенной
массой М
загружена гармонической силой
,
рис. 15.17. Найти расчетный изгибающий
момент.
Решение. Уравнение колебательных движений сечений (15.60) при выборе начала координат на левом конце балки будет иметь вид
,
где начальный параметр Р0 состоит из амплитудного значения приложенной гармонической Р и силы инерции колеблющейся сосредоточенной массы Ри
.
Тогда уравнения изогнутой оси балки и углов поворота примут следующий вид:
,
(15.61)
.
(15.62)
Здесь обозначено , .
Из условий защемления консоли получаем систему уравнений, откуда находим начальные параметры:
,
.
Здесь
- определитель системы уравнений,
описывающих условия защемления балки.
Используя сочетания функций Крылова:
,
,
,
формулы начальных параметров можно представить в виде:
,
.
Заметим, что, приравнивая знаменатель этих формул нулю, получим частотное уравнение (15.57).
В
конкретном случае, рассмотренном в
примере 1 п. 15.3.4, при ξ=1
получена частота первого тона колебаний
.
Примем частоту возмущения θ=0,49ω1.
Тогда
.
По этому аргументу находим значения
тригонометрических и гиперболических
функций:
,
,
,
и вычисляем коэффициенты начальных
параметров:
,
.
Дифференцированием (15.62) находим уравнение изгибающих моментов:
.
Подставляя сюда значения коэффициентов начальных параметров, при z=lнаходим расчетный изгибающий момент в заделке
.
Заметим, что при динамическом загружении динамические коэффициенты по прогибам, углам поворота и моментам не одинаковы.
Литература
1. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. М.; Высш. шк., 1969.
2. Кисилев В. А. Строительная механика. Специальный курс (Динамика и устойчивость сооружений). –М.: Из-во лит. По строительству, 1964. –331 с.
3. Писаренко Г. С., Квітка О. Л., Уманський Е. С. Опір матеріалів.-К.: Вища шк. , 1993. 665 с.
4. Писаренко Г. С. и др. Сопротивление материалов. :Высш. шк., 1986.-775 с
5. Смирнов А.Ф. Сопротивление материалов. -М.; Высш. шк., 1975.-479 с.
6. Тимошенко С.П., Дж. Гере. Механика материалов. - М.: Мир,1976.- 670с.
7. Феодосьев В. И Сопротивление материалов. .-М.; Наука., 1986.-512 с.
8. Шевченко Ф. Л. Изгиб стержневых систем: Учеб. Пособие.-Донецк:ДПИ,1984.-95 с.
9. Шевченко Ф. Л. Механика упругих деформируемых систем. Часть 1,Напряженно деформированное состояние стержней. Учеб. пособие.-Киев,1993 279 с.
10. Шевченко Ф. Л. Механика упругих деформируемых систем. Часть 2,Сложное напряженное состояние Учеб. пособие.-Киев,1993 239 с.
11. Шевченко Ф. Л. Механика упругих деформируемых систем. Часть 3. Учеб. пособие.-Киев. УМК ВО,1993 95 с.
12. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. – М.: Наука, 1967. –442с.